微积分共七讲，其中上册有三讲:极限、一元函数微分学、一元函数积分学；下册有四讲:多元微分学、二重积分、微分方程、无穷级数。
第一讲极限。
核心考点有三。
一、极限的定义及性质。函数极限和数列极限定义学会数学翻译，所有极限的成立，都是在取值范围内的；
掌握递推法(高阶到低阶)；数学归纳法(从低阶到高阶)。
讨论一个函数在定义域上的有界性；
二、重点是极限计算。十六字方针:化简先行、判别类型、使用工具、注意事项。
化简先行中等价无穷小替换中"抓大头"，注意找“带头大哥”(多项加加减减，找最大的那项，把其他项都甩掉)；离铅垂渐近线走得越近的人其实跑无穷大越慢；恒等变形中数学上不喜欢金字塔，因其极其稳定，头重脚轻根蒂浅；
判别类型中只有7种未定式。0·∞型设置分母有原则，简单分母才下放；∞-∞型没有分母，创造分母。
使用工具中慎用洛必达，洛必达法则是求导的结果存在，原式才存在。带着参数求导的结果你不知道是几。若洛必达失效，反思一下准备工作有没有做好(化简)；在泰勒眼中所有函数都是幂函数，包括变上限积分函数。
注意事项是指总结经验教训。
含参数的极限综合题加强训练。
数列极限计算:归结原则、夹逼准则、单调有界准则(注意数学归纳法)。出大题会难!第一问为第二问做铺垫。
三、极限的应用——连续与间断。
第二、三讲 一元函数微积分学。
核心考点有四。
一、定义:导数、微分、不定积分、定积分、变限积分、反常积分。
原函数存在定理:看一个函数是否有不定积分，盯着"连续与间断"；
函数可积:看一个函数是否有定积分，盯着函数在有限区间上有界且只有有限个间断点；
根据被积函数图像画变限积分函数的图像，后者斜率是前者的值，后者函数值对应前者上面的面积。
函数的奇偶性、周期性、有界性(证谁有界，给谁加绝对值；证有界，最后结果都是常数，不能有变量)。
定积分精确定义。
变限积分属于定积分范畴，实质上是取决于x的一个动的面积；变限积分求导公式使用前提:被积函数中只含积分变量，不含求导变量。
反常积分是定积分之拓展，分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分；判断反常积分的关键:看奇点；判断反常积分是否收敛关键:看曲线和直线的接近程度(离水平渐进线越近，趋向于0的速度越快；离铅垂渐进线越远，跑无穷大的速度越快)，P积分必考无疑。
二、计算。
1、积分。
基本积分公式:三角函数10个、分母开方的4个、分母不开方的4个。(对数函数求导视绝对值而不见)
步骤:普京抓主要矛盾求导凑微分；若凑微分失效，针对复杂部分作换元处理，先考虑微观换元法；举重若轻，宏观换元法。
华里式公式(点火公式)证明；一个题目结合区间再现公式、换元、点火(华里士)公式。
2、求导。
一般题:复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导、对数求导法、分段函数求导；
高阶题:泰勒和麦克劳林、莱布妮子(考得少)。
三、应用。
1、几何应用。
①导数性态——三点两性一线:极值点与单调性、拐点与凹凸性、渐进线、最值点。
极值点和拐点的判别法一都是看一个点的左右两边导数符号，判别法二都是盯着一个点看，判别法二要会证明；(求拐点注意抓主要矛盾)
渐近线求解程序有三，其中第一点求定义域是关键，后两步关键是极限计算!
求一元函数最值——闭区间上比较驻点、不可导点、端点函数值；开区间上不能取端点取极限值。最后比较时涉及到函数计算，如计算三角函数值，注意看图说话，如背过正弦函数在【0，π】上的四等分面积。
②积分(测度)
平面图形面积、旋转体体积、平均值。
难点在于计算，任何一道编好的考研题，都有能力把图像画出来(导数性态)。
四、逻辑(证明)
1.中值定理:研究对象的复杂化；区间的复杂化。
2.不等式证明:核心是用求导(单调)，辅助中值定理。
3.方程根(等式证明):证明零点存在性(至少问题)，用零点定理或罗尔定理(将原式复杂化一阶导为0)；证明零点唯一性(至多问题)，用单调性或罗尔原话。
第四讲 多元函数微分学
核心考点有三。
一、概念5个
1、极限的存在性:两个定义
求二元函数极限，除洛必达法则、单调有界准则、穷举法，可照搬一元函数求极限的方法。
用的多的有三种方法:等价无穷小替换、无穷小·有界=无穷小、夹逼准则。
2、连续性
3、偏导数存在性
4、可微
5、偏导数的连续性
二、计算-微分法
三、应用-极值与最值:无条件极值与点儿塔法；条件最值与拉格朗日乘数法。
对计算二元函数的极限和全微分有了更深刻的认识和掌握，拉格朗日乘数法关键是计算。
第五讲 二重积分
核心考点有三。
一、概念与对称性。二重积分看作是一个个薯条组成的大面包；对称性分普通对称性与轮换对称性，轮换对称性只是"积分值与字母无关"的特例、巧合。
二、计算。
1、基础题。直角坐标系、极坐标系
2、技术题。换序、对称性、形心公式的逆用。
三、综合题。
第六讲 微分方程
核心考点有三。按类求解，对号入座。
一、一阶方程:可分离变量型、齐次型、一阶线性型、可降阶
求解中出现对数，其真数要带绝对值符号。
可降阶微分方程通过换元变形成其他三种形式的微分方程，尤其是转化成一阶线性型再求解。方法:缺y,赶尽杀绝y；缺x,斩草除根x.
二、高阶方程:二阶常系数齐次线性方程、非齐次
对于高阶方程除了会正向求解外，要掌握已知特解反求方程(逆向思维)，具体方法:将特解与二阶常系数齐次线性方程的同解形式相对比，求出特征方程(注意二重根的情况不要写错)，根据特征方程写出原方程。
三、应用题。
背景公平；翻译成数学表达式。
另今天接触到牛顿-莱布尼茨公式的逆用:将一个数写成定积分的形式，这种逆向思想令人感到惊艳。
第七讲 无穷级数
核心考点有三。
一、数项级数的判敛。
1、概念(本质):无穷级数敛散性判别的关键、本质是研究通项在n趋于无穷大时趋于0的速度，对比无穷区间上反常积分敛散性判别的关键是其高"无穷小的程度"；
一个级数收敛的定义是该级数的部分和在n趋于∞时的极限存在，这个极限就叫做该级数的和；
一个级数收敛的必要条件是其通项在n→∞时趋于0。
2、分类:(常)数项级数-正项级数、交错级数、任意项级数
函数项级数-幂级数
3、数项级数的判敛
①正项级数的判敛:
a.收敛原则——正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界，用于抽象级数判敛，写其前n项和，证其有界 ，难的是放缩法(统一分母，利于计算)；
证数列有界，证数列的绝对值小于等于某一个正数。
b.正项级数比较判别法——对Un放缩或题目告知Vn。放缩必须熟记几个经典不等式；正项级数用比较判别法时用到连续放缩的递推法。
c.比较判别法的极限形式和P级数是重点(此时与第一讲极限中等价无穷小替换相结合，要一眼看出与要判级数等价无穷小的P级数)；P级数和1到无穷大区间上的P积分对比，一个是离散累加，一个是连续累加。
注意比较对象有以下:几何级数、P级数、广义P级数(举反例用)、交错P级数
d.比值判别法；
e.根值判别法。
②交错级数的判敛:莱布尼茨判别法；
③任意项级数判敛:若通项加绝对值后级数收敛，则原级数绝对收敛；若通项加绝对值后级数发散而原级数收敛，则原级数条件收敛。对于任意项级数，思路上一般都是先把一般项加上绝对值，变成正项级数后再去讨论问题。
抽象级数敛散性证明可能成为压轴题，跟上册有关的计算(如求极限)相结合。
二、幂级数的收敛域。
三、展开与求和。
1、幂级数展开分为直接展开(照着6个公式套)和间接展开(先变形)。先积后导注意，若积分后首项为常数则改下标；注意幂级数的形式；注意写收敛域。
2、先积后导等于原来的函数，而先导后积不等于原来函数，一般取积分下限为展开点；注意收敛域，求得的和函数可能为分段函数。
求和函数先导后积中有嵌套的先导后积，注意换字母以区分各变量；具体求结果时便是硬基础——定积分的计算(时刻注意对数的真数为正)；
幂级数的展开与求和各重做一道错题。发现还是出错。每次自己独立动脑做题都会发现意外惊喜——新错误。只有自己动笔做而非直接听或看答案，才能真正理解题目的内涵。做过很多遍的题，看起来简单，但还会出错说明要脚踏实地，不能眼高手低。踏踏实实砌好每一块砖。学一个知识点就是学成千上万个知识。
高数下册微分方程及无穷级数是上册极限与微积分的具体运用，计算过程处处跟上册有密切联系。一些题目只是套上级数的外衣。
