何谓相似？
两个矩阵相似意味着什么？
正定从何而来？
正定阵来自最小二乘法，大量的物理问题需要用长方形矩阵描述，最小二乘法的关键在于矩阵
，希望证明
是一个正定阵。
假设是正定的，意味差是对称阵，即为对称正定阵。逆矩阵的特征值等于阵特征值的倒数，逆矩阵也是正定的，因为特征值全为正数，所以倒数也为正数
和
都是正定的可得，
也是正定的
%3E0)
证明最小二乘法为正定的：
(Ax)%3D(Ax)%5ET(Ax)%3D%7C%7CAx%7C%7C%5E2%5Cge0)
如果零空间没有其它向量则，
，矩阵各列线性无关，确保正定，如果可逆，最小二乘方程将存在最优解，所以为正定阵
和为相似阵，
，存在某个可逆矩阵
使得可以表示为
例：有无关的特征向量，也就是存在特征向量矩阵
按照新说活，相似于
，矩阵的所有相似阵里面是最好的
*** 与具有相同的特征值，因为相似 (重要性质)
，通过迹来验证，
例：证明相似阵特征值相同这一重要性质
m%5E%7B-1%7Dx%3D%5Clambda%20m%5E%7B-1%7Dx%20%5Cto%20Bm%5E%7B-1%7Dx%3D%5Clambda%20m%5E%7B-1%7Dx%5C%5C%20%5Cto%20Bx%3D%5Clambda%20x%20%5Cto%20%E8%A1%A8%E6%98%8E%5Clambda%E6%98%AFB%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%EF%BC%8C%E4%BD%86%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F%E5%B9%B6%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E7%AD%89)
的特征向量等于
乘以矩阵的特征向量
对角阵的特征向量分别是%2C(0%2C1))
，特征值 不变，相似矩阵的特征值保持不变
相似矩阵特征向量可能不再线性无关，矩阵可能无法对角化(坏情况：
，矩阵可能无法对角化)
除外，其余矩阵属于另一类，该阵只和自己相似，意味着只有一个特征向量，它将无法对角化，把1改为
或
，同样可以找到使它和原矩阵相似，为1时，是这类矩阵最好的一个，称为若尔当标准型，它是最简洁，最接近对角阵的一个
![\underbrace{ \left[ \begin{array}{ccc|c} 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0 \end{array} \right] }_{A}\\ \lambda=0,0,0,0\\ 2个线性无关的特征向量\\ 零空间维数等于2(N(A)=2)\\ 若尔当分块3\times3,1\times1](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cunderbrace%7B%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Cc%7D%200%261%260%260%5C%5C0%260%261%260%5C%5C0%260%260%260%5C%5C%5Chline%200%260%260%260%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D%20%7D_%7BA%7D%5C%5C%20%5Clambda%3D0%2C0%2C0%2C0%5C%5C%202%E4%B8%AA%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F%5C%5C%20%E9%9B%B6%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%BB%B4%E6%95%B0%E7%AD%89%E4%BA%8E2(N(A)%3D2)%5C%5C%20%E8%8B%A5%E5%B0%94%E5%BD%93%E5%88%86%E5%9D%973%5Ctimes3%2C1%5Ctimes1)
%3D2%5C%5C)
和相似。
注意对角线上方的1,每增加一个1特征向量就减少1个。
例：若尔当分块
![\left[ \begin{array}{cc|cc} 0&1&0&0\\0&0&0&0\\\hline0&0&0&1\\0&0&0&0 \end{array} \right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7Ccc%7D%200%261%260%260%5C%5C0%260%260%260%5C%5C%5Chline0%260%260%261%5C%5C0%260%260%260%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%5D)
若尔当分块：
表示
阶的若尔当块，每个方阵都相似于一个若尔当阵
，就是由若尔当块构成的矩阵
