非参数方法

本文来自《商务与经济统计》第18章的个人笔记。

什么是非参数方法

参数方法：即对数据的参数有一些先验经验，比如数据的分布、均值与方差等，常见的检验一般都会要求正态分布。非参数方法不要求提供这些参数。

非参数方法的区别之处

无需假定总体概率分布形式
允许对分类、排序类数据进行推断
非参数检验一般是针对中位数的

符号检验

用于总体中位数的检验、两个匹配总体之差的检验（方法与第一个相同）。

总体中位数的检验

$H_0$ ：总体中位数=x
步骤：

新增一列，如果数据大于x，则设置为+，小于设置为-，等于就剔除掉
统计正负号的个数
如果零假设成立，则总体中应该各有50%的正负号
问题转化为 $H_0$ ：p=0.5，p表示加号的概率，这是一个二项分布，当样本数大于20时，近似正态分布
对于二项分布，计算加号数 $\ge$ 统计的加号数的概率（如果统计的加号大于一半）或加号数 $\leq$ 统计的加号数的概率（如果统计的加号小于一半），此概率即为p值。对于正态分布，由于均值为0.5n，标准差为 $\sqrt {0.25n}$ ，同理求p值。对于双侧检验，结果乘以2。这一步的原理是对统计加号数求远离一半加号方向的概率，表示反常的情况。
求p值的时候注意使用连续性修正，比如加号个数为8个，求下侧面积，则应该用(7.5,8.5)区间的概率来求加号为8个的概率。

威尔科克森符号秩检验

用于分析匹配样本数据，同样检验中位数。使用数据量数据，假定配对观测值之差具有对称分布（即2个总体的形态相同，比正态分布宽松）。由于假定是对称分布，中位数检验也是均值检验。
$H_0$ ：配对总体的中位数之差为0
步骤：

新增2列，一列为总体A-总体B的差。一列为差的绝对值。
根据差的绝对值排序。首先剔除差为0的样本。对绝对值从小到大排序（序号从1开始），如果差值相同，则用平均数代替（比如第3,4个差值相同，则序号都为3.5，序号也称为秩）
取差值为正（新增的第一列）的样本，求其秩的总和，此即为符号秩检验的统计量 $T^+$ 。
如果2总体中位数相等且匹配数据对个数 $\ge$ 10，则 $T^+$ 的抽样分布近似正态分布：均值= $n(n+1)/4$ ，标准差= $\sqrt{n(n+1)(2n+1)/24}$
下面就转到正常的参数统计方法：求统计量 $T^+$ 在给定正态分布下远离零假设条件的概率，即为p值（双侧检验需要乘以2）。同样注意连续性修正（比如统计量为11.5，分布的均值为10，则应该求t $\ge$ 11的概率，11.5用区间11-12表示）

MWW检验（曼-惠特尼-威尔科克森检验）

检验2个独立样本的2总体差异。当2个总体具有相同的形态时，MWW检验变为2个总体的中位数之差的检验。
$H_0$ ：2个总体相同
步骤：

合并2个样本，排序
如果2个总体相同，总体A的秩和应该接近2个极端值的平均值（比如样本1和样本2的样本数为4，5，则样本1最小秩和为1+2+3+4=10，最大秩和为6+7+8+9=30，平均值为20）
其中一个总体的秩和W作为统计量，当2个样本数都 $\ge$ 7时，W近似服从正态分布：均值= $n_1(n_1+n_2+1)/2$ ，标准差= $\sqrt{n_1 n_2 (n_1+n_2+1)/12}$
下面也转为常规参数方法，略。

克鲁斯卡尔-沃利斯检验

检验多个总体。可以是顺序型或数量型数据。总是一个上侧检验
$H_0$ ：所有总体相同。
步骤：

合并多个样本，排序，计算各样本的秩和
统计量H= $[\frac {12}{n_T (n_T+1)}\sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i}]-3(n_T+1)$ , $其中k为总体个数，n_i代表样本i的观测值数目，n_T为所有样本的观测值数目，R_i为样本i的秩和$
在零假设下，H的抽样分布近似服从自由度为k-1的卡方分布（每个样本容量 $\ge$ 5）

秩相关系数

皮尔逊相关系数是线性关系的度量。对于排序数据，使用秩相关系数。
$r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2+1)}$ ， $其中n为样本值观测值个数，x_i为第一个变量的第i观测值的秩，y_i为第二个变量的第i观测值的秩，d_i=x_i-y_i$
在总体的秩相关系数为0的零假设下， $r_s$ 的抽样分布近似正态分布：均值 $u_{r_s}$ =0，标准差 $\sigma_{r_s}$ = $\sqrt{1/(n-1)},n\ge 10$
构造统计量z= $\frac{r_s-u_{r_s}}{\sigma_{r_s}}$ ，z服从标准正态分布，利用z统计量计算p值，即可进行秩相关系数显著性检验。