完全平方数就是： 两个相同的数相乘的数。
A是完全平方数，通常用a的平方来表示。在学习了字母代替数字以后，就开始习惯这种表示方法。
常用要记住的还有：21×21=441 24×24=576 25×25=625
一、完全平方数的特点
观察发现，看看能找到哪些特征？这些特征从哪里来？
带着这个问题，我们向后学习。。。。
例题1 ☆☆ 一个班级的同学做早操，人数正好能排成行数和列数都相等的方阵。冬天最冷的时候，老师让同学们5人一组去踢毽子。班长分完小组以后，对老师说“5人一组，多出来两个人。”，老师马上说：“你一定是分错了。”。 聪明的同学，你知道老师这样说的根据吗？
例题2 ☆☆☆ 我们知道11×11=121, 111×111=12321， 1111×1111=1234321，....结果都是完全平方数。那么121+12321+1234321+.... +12345678987654321 的结果是不是完全平方数呢？
余数规律的发现：
例题3 ☆☆☆ 1×1+2×2+3×3+……+2001×2001+2002×2002 除以 3 的余数是多少？
例题4 ☆☆☆ 形如11,111,1111,11111，……的数字中有没有完全平方数？
二、完全平方数的质因数
完全平方数都可以分解为成对出现的质因数。
12×12=3×2×2 × 3×2×2 分解成质因数的偶数次方。
例题5 ☆☆☆ 一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？
270 = 27×10
= 3×3×3×2×5 根据质因数成对出现的特点，用最小的质因数补齐就是正确答案。
例题6 ☆☆☆☆ 已知自然数 n 满足： 12！除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是？
和补齐乘法算式得到完全平方数的原理是一样的。这里抵消掉落单的质因数就可以了。
例题7 ☆☆☆ 一个房间里有100盏灯，用自然数1,2,3,……，100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮有100个人，依次进入房间，第1个人进入房间以后，将编号为1的倍数的灯开关按一下，然后离开；第二个人进入房间后，将编号位2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。请问：第100个人离开房间以后，房间的灯有哪些是亮的。
三、平方差公式
通过做题 总结知识
例题1 ☆☆
根据题意全班人数是一个完全平方数，
那么人数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9。
除以5的余数只能是1或者4，
所以老师说班长算错了。
例题2 ☆☆☆
注意算式的项数，2个1到9个1，一共是8个数字。8个末位为1的数字，和末位一定是8，这不符合完全平方数的末位数规律，必然不是完全平方数。
例题3 ☆☆☆
完全平方数除以3余数是有规律出现的。每3个数为1组。
2002÷3=667（组）……1
（2×667+1）÷3 = 445 ……0
例题4 ☆☆☆ 形如11,111,1111,
完全平方数除以4只能余0或者1。 那么这些数字里末尾两位没有能被4整除的数，因此没有完全平方数。
例题5 ☆☆☆一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？
A × 270 = 完全平方数
270 = 270×10
= 3×3×3×2×5
A = 3×2×5
= 30
例题6 ☆☆☆☆ 已知自然数 n 满足： 12！除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是？
和补齐乘法算式得到完全平方数的原理是一样的。这里抵消掉落单的质因数就可以了。
例题7 ☆☆☆ 一个房间里有100盏灯，用自
完全平方数的因数分别是1 和平方根和它自己。这样开关就被按动了奇数次。所以编号为100以内的完全平方数的灯最终是亮的。
总结笔记
末位数字的规律：
末位数字只有 0,1,4,5,6,9
末位为0时，0是成对出现的。
个位为奇数，十位必然为偶数
个位为6，十位必然为奇数
余数规律：
除以3的余数只有 1或者0
除以4的余数只有 1或者0
除以5的余数只有 0,1,4
能被3整除的也能被9整除
思考一下除以6 7 8 9的余数是多少
出现的规律：
两个连续自然数的平方之间不再有完全平方数
约数和因数规律
因数的个数一定是奇数。
约数个数等于指数＋1连乘
质因数成对出现，可以分解成质因数的偶次方的形式。
练习部分
1、自然数1-10012中有（ ）个完全平方数？
2、15？2, 2？？8， ？ ？10， 19？6，这四个数字中，？代表不能辨别的数码，其中有完全 平方数，这些完全平方数是 （ ）
3、在 2×3，3×4，……，99×100中，（ ）完全平方数。
4、在 1 到 2011 之间的自然数中，恰有奇数个约数的数有（ ）个。
5、是否存在自然数a，b，使3ab41×6是完全平方数？
6、66,666，……，66666666666666666，这串数字中是否有完全平方数？
7、下面算式：1！＋2！＋3！……，10！的得数是否是完全平方数？
8、2000乘以非零自然数a得到一个完全平方数，则a最小为 （ ）
9、祖孙三人，孙子和爷爷年龄的乘积是1512，三人年龄的积是完全平方数，则父亲的年龄是
10、两个两位数，差为56，他们的平方数末两位数相同，这两个两位数分别是（ ）
11、用60个5和若干个零组成的数字是否是完全平方数？
12、已知ab2ba是一个完全平方数，a是最大的一位数，求这个数字？
13、从1到1000的所有自然数里，有多少个数乘以54后，是完全平方数？
14、如果三个连续正整数，中间一个是平方数，将这样的三个正整数的乘积叫做“幸运数”，所有小于等于2011的幸运数的最小公倍数是多少？
练习讲解
1、自然数1-10012中有（100）个完全平方数？
101×101=10201 超出了范围，所以10012里面有1-100这100个完全平方数。
2、15？2, 2？？8， ？ ？10， 19？6，这四个数字中，？代表不能辨别的数码，其中有完全 平方数，这些完全平方数是 （1936）
根据末位数的规律，19？6有可能是的。试算40--50之间末位为4or6的数字。 44×44=
3、在 2×3，3×4，……，99×100中，（无）完全平方数。
4、在 1 到 2011 之间的自然数中，恰有奇数个约数的数有（44）个。
45×45=2025
5、是否存在自然数a，b，使3ab41×6是完全平方数？ 无
根据末位数规律，如果是6，十位就必须是个奇数
6、66,666，……，66666666666666666，这串数字中是否有完全平方数？ 无 同上题
7、下面算式：1！＋2！＋3！……，10！的得数是否是完全平方数？
不是 根据末位数由各位乘积决定的规律，把末位数相加，末位为3。
8、2000乘以非零自然数a得到一个完全平方数，则a最小为 （5）
分解2000为 5·5·5·2·2·2·2 补一个5 满足了成对出现的要求
9、祖孙三人，孙子和爷爷年龄的乘积是1512，三人年龄的积是完全平方数，则父亲的年龄是
分解1512为 2×2×2×3×3×3×7 需要补齐 2×3×7 所以父亲的年龄42岁。
10、两个两位数，差为56，他们的平方数末两位数相同，这两个两位数分别是（78、22）
设大数为x，小数为y
x-y=56
x·x-y·y= m100
（x＋y）（x-y）=m100
56（x+y）=m100
x+y=100 x-y=56
x=78
11、用60个5和若干个零组成的数字是否是完全平方数？ 不是 因为不能被9整除
12、已知ab2ba是一个完全平方数，a是最大的一位数，求这个数字？
a=9 则 整个数是 9b2b9 300往上，末位为7的数字枚举 307×307= 94294
13、从1到1000的所有自然数里，有多少个数乘以54后，是完全平方数？
这个数字拿出一部分质因数和54配对成完全平方数以后，自己仍是完全平方数才行
54分解成 2 3 3 3 ，需要拿出6，剩下的还是完全平方数。 1000÷6=166……4
13×13是 169 不符合 那就剩下1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 这个几个了
14、如果三个连续正整数，中间一个是平方数，将这样的三个正整数的乘积叫做“幸运数”，所有小于等于2011的幸运数的最小公倍数是多少？
完全平方数专题在不断完善当中。
