线性代数（4）——逆矩阵

逆矩阵

在实数计算中，一个数a乘以它的倒数 $\frac{1}{a}$ 结果为1。同理，对矩阵而言，如果这个矩阵A可逆，那么该矩阵A与其对应的逆矩阵 $A^{-1}$ 相乘则可获得单位矩阵I。此时，A称为可逆矩阵/非奇异矩阵。

e.g. $A^{-1}\times A=I$

$\begin{bmatrix}1/2&0&0\\0&1/2&0\\0&0&1/2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

什么样的矩阵可逆？

前提：该矩阵是方形矩阵，即 $n\times n$ ;

1、矩阵的行列式不为0时该矩阵可逆；

2、矩阵的行/列向量之间不属于线性组合，即向量之间互相独立时，该矩阵可逆；

求矩阵的逆

高斯消元法：

e.g. 采用增广矩阵的形式 $\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix}$ 进行消元最后获得 $\begin{bmatrix}I&A^{-1}\end{bmatrix}$ ：

$\begin{bmatrix} 1&3&&1&0 \\ 2&7&&0&1 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1&3&&1&0 \\ 0&1&&-2&1 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1&0&&7&-3 \\ 0&1&&-2&1 \\ \end{bmatrix}$

线性代数(3)中提到消元过程可使用变化形式的单位矩阵进行记录，这里称为E，则有：

$E\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I&A^{-1}\end{bmatrix}$

所以： $E\times A=I$ ;

$E\times I=A^{-1}$ ;

$E=A^{-1}$

因此， $A^{-1}$ 记录了矩阵A转化为单位矩阵的过程。

公式

1、已知： $A\times B=C$ , 且A、B、C可逆，则有

$(AB)(AB)^{-1}=I$

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=I$

2、 $I^{T}=(A^{-1}A)^T=(A^{-1})^TA^T=I$

$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$

EA=U

通常情况下，将EA=U写成A=LU。即可将A分解成L(下三角矩阵)和U(上三角矩阵)

e.g. 在线性代数(2)的例子中，有 $E_{32}(E_{21}A)=U$

此时， $E_{32}E_{21}=E$

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&-5&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -2&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ -2&1&0 \\ 10&-5&1 \end{bmatrix}$

若我们将上式转为A=LU的形式，则有 $A=(E_{21})^{-1}(E_{32})^{-1}U=LU$

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 2&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&5&1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 2&1&0 \\ 0&5&1 \end{bmatrix}=L$

相比E，L更具特征性，即可以直接发现21号位置和32号位置是A进行行操作的步骤。

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