1. 傅立叶变换：

(1) 傅立叶级数：法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。

(2) 傅立叶变换：将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。

(3) 频域，时域与相位之间的关系：

(4) 欧拉公式：

http://blog.jobbole.com/70549/

2. 小波变换：

(1) 傅里叶变换的不足

即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是方沁园所说的，“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。

如下图：

做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。

一切没有问题。但是，如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢？

如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。

做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。

可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

(2) 短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）

一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。

时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！

用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：

图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。

是不是棒棒的？时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。

使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？

窗太宽太窄都有问题：

窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。

（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。）

所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

(3) 小波变换

那么你可能会想到，让窗口大小变起来，多做几次STFT不就可以了吗？！没错，小波变换就有着这样的思路。

但事实上小波并不是这么做的（关于这一点，方沁园同学的表述“小波变换就是根据算法，加不等长的窗，对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。）

至于为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重，STFT做不到正交化，这也是它的一大缺陷。

于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了~

这就是为什么它叫“小波”，因为是很小的一个波嘛~

从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量τ就对应于时间。

当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。

而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。

看到了吗？有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！

做傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！

小波还有一些好处，比如，我们知道对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号。

作者：咚懂咚懂咚

链接：https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/40772083

来源：知乎

3. 图像评价标准

(1) PSNR(峰值信噪比)

PSNR: Peak Signal to Noise Ratio,一种全参考的图像质量评价指标。 

其中，MSE表示当前图像X和参考图像Y的均方误差（Mean Square Error），H、W分别为图像的高度和宽度；n为每像素的比特数，一般取8，即像素灰阶数为256. PSNR的单位是dB，数值越大表示失真越小。

PSNR是最普遍和使用最为广泛的一种图像客观评价指标，然而它是基于对应像素点间的误差，即基于误差敏感的图像质量评价。由于并未考虑到人眼的视觉特性（人眼对空间频率较低的对比差异敏感度较高，人眼对亮度对比差异的敏感度较色度高，人眼对一个区域的感知结果会受到其周围邻近区域的影响等），因而经常出现评价结果与人的主观感觉不一致的情况。

(2) SSIM(结构相似性)

SSIM: structural similarity index, 是一种衡量两幅图像相似度的指标。它分别从亮度、对比度、结构三方面度量图像相似性。

结构相似性的范围为-1到1。当两张图像一模一样时，SSIM的值等于1。

其他指标：http://blog.csdn.net/smallstones/article/details/42198049