3D数学基础 简要归纳

• 计算机图形学第一准则：看上去是对的就是对的，简单记为近似原则
• OpenGL是基于3D的，屏幕是2D的
• OpenGL中使用的是列向量

左手系&右手系

• OpenGL更多的是基于左手系
• 线性代数更多是基于右手系
• 3D图形学中常用坐标系
  • 世界坐标系：系统的绝对坐标系
  • 物体坐标系：物体产生关联
  • 摄像机坐标系/照相机坐标系
  • 惯性坐标系：物体坐标系转换为世界坐标系的 “半途”，目的是为了减少复杂度，是一个过渡
• eg：以下情景基于什么坐标系？
  • 书在我的西边还是北边？==> 东南西北 -- 世界坐标系
  • 计算机在我的前面还是后面？==> 上下左右 -- 物体坐标系
  • 从一个房间移动到另一个房间 ==> 寻路型 -- 世界坐标系
  • 你能看见我的计算机吗？ ==> 摄像机坐标系

向量

• 存储 -- 数组

• 图形学中：最多到4维

  • 2D：x、y
  • 3D：x、y、z
  • 4D：x、y、z、w

• 零向量：没有方向，没有长度 即 模 = 0

• 负向量 = (-1).向量, 将向量中的每个数都乘以 -1

  • 几何意义：得到一个与原向量大小相等，方向相反的向量
    
    负向量

• 向量大小计算 即 模的计算 = 向量中所有数的平方和，再求根号

  
  
  向量模计算

  • 2D向量几何意义：直角三角形最长边的边长

    
    
    2D向量几何意义

• 标量与向量的运算总结

  • 标量不能与向量进行加减运算
  • 标量与向量可以相乘，且满足交换律，不需要写乘号
  • 向量可以除以标量，即相当于向量乘以一个标量的倒数 即 v(向量)/k = v 乘以 1/k
  • 标量与向量的乘除 优先级高于 加减
  • 标量不能除以向量，且向量不能除以另一个向量
  • 乘法的特殊情况：负向量，即 向量 乘以 标量-1
  • 几何意义： 以因子（k 即 标量）缩放向量的长度，如果k<0, 向量的方向就会相反
    • 当k = -1时，向量仅翻转，得到大小相等，方向相反的向量
    • 当k = -2时，向量是先翻转，再放大，即-2可以看成（-1）乘以2

• 向量标准化

  • 向量标准化 = 向量 / 向量的模，且向量 != 0
  • 标准化向量 ：是向量长度 = 1，不等于单位向量，单位向量是主对角线数为1，其他全为0，单位向量是标准化向量

• 向量的加减总结

  • 向量不能与标量或者维度不同的向量相加减
  • 向量加法满足交换律
  • 向量减法不满足交换律，只有当 a=b 时， a-b = b-a
  • 向量加法几何意义：平移向量

• 向量的距离公式

  • 向量a与向量b的距离公式 = ||b-a|| = b与a对应位置数差的平方和，再求根号
    
    向量距离公式
  • 几何意义：两点间的距离

• 向量的点乘总结
  

  向量点乘
  • 满足交换律，因为点乘结果是一个标量
  • 几何意义：两向量的夹角，即 a · b = |a||b|cosα ==> α = arccos(a·b / |a||b|)，当a、b是单位向量时， α = arccos(a·b）

• 根据已知的向量v和向量n，且v2平行于n，v1垂直于n，求向量v2和向量v1

  
  
  image
  • v2平行于n: v2 = n(|v2| / |n|)
  • cosα = |v2| / |v| ==> |v2| = cosα·|v|
  • 将|v2|代入v2 ==> v2 = n(cosα·|v| / |n|)
  • 分子分母同时乘以|n| ==> v2 = n(cosα·|v|·|n| / |n|²)
  • 根据a · b = |a||b|cosα ==> v2 = n(v·n / |n|²)，此时求得v2
  • 根据v2求v1，因为v1 + v2 = |v| ==> v1 = |v| - v2
  • 将v2公式代入v1 ==> v1 = |v| - n(v·n / |n|²)

• 向量叉乘总结【常用】

  • 向量叉乘运算规则如下

    
    
    向量叉乘
  • 向量的叉乘优先级高于点乘
  • 几何意义
    • a × b = c，c垂直于a和b构成的平面，即c是该平面的法线，分别与a，b都垂直
    • a × b = c，即|c| = |a||b|cosα
  • 叉乘既不满足交换律，也不满足结合律

  • 任何向量与自己叉乘等于零向量，即 向量a × 向量a = 0

    
    
    image

矩阵

• 矩阵在OpenGL中推荐使用一维数组存储

• 方阵：行=列的矩阵

• 向量可以当做1*n（行向量） / n*1（列向量）的矩阵使用

• 标量和矩阵的乘法：将矩阵中的每个数都乘以标量

• 矩阵与矩阵相乘，即 A₃*₂ * B₂*₄ = C₃*₄，A的列数必须匹配B的行数（记法图示如下）
  

  矩阵相乘

• 矩阵乘法总结

  • 当S是单位矩阵且乘法有意义，任意矩阵M乘以方阵S，，那么得到的结果就是原矩阵，即MI = IM = M
  • 矩阵乘法不满足交换律，即AB != BA
  • 矩阵乘法满足结合律，前提是ABC的维数使其乘法有意义，即 (AB)C = A(BC)
  • 矩阵乘法也满足与标量/向量的结合律，即(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB)
  • 矩阵乘积的转置 相当于 先转置矩阵，然后以相反顺序相乘，即(AB)ᵀ = BᵀAᵀ

• 向量与矩阵乘法总结

  • 行向量左乘矩阵，结果是行向量
  • 列向量右乘矩阵，结果实列向量
  • 结果向量中每个元素都是原向量与矩阵中单独行/列的点积
  • 矩阵-向量成法满足对向量加法的分配律，即 (v+w)M = vM + wM，其中v，w是向量，M是矩阵

• 基向量：单位向量

  • p、q、r 定义分别指向+x,+y,+z⽅方向的单位向量量，v = xp+yq+zr

    
    
    基向量

  • 矩阵M对应到坐标轴的单位向量如图所示

    
    
    image

- 矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量

• 矩阵的几何意义
  • 方阵的行能被解释为坐标的基向量
  • 为了将向量从原坐标变换到新坐标，需要用向量乘以一个矩阵
  • 线性变换：从原坐标系到基向量定义的新坐标系的变化
  • 零向量乘以任何矩阵仍是零向量

2D下的旋转矩阵公式推演

核心动画CoreAnimation中苹果官方文档有提到

• 2D下的旋转时围绕原心旋转的

• 三角函数表

旋转时向量的变化与三角函数值的关系

• 旋转变化如图所示

  
  
  2D-围绕原点旋转变化过程

• 向量与三角函数值的关系

  
  
  基向量与三角函数值关系

3D下的旋转矩阵公式推演

• 3D下的旋转时围绕某个轴旋转的，当围绕哪个轴，哪个轴的矩阵中所对应的行和列就用基向量表示

  • 围绕x轴旋转，x轴不会发生变化，所以x对应的矩阵行用基向量表示,图示如下

  • q向量的值变化过程为: +y（起始） ==> +z ==> -y ==> -z
    1 0 0
    0 0 1
    0 1 0
    0 0 -1
    0 -1 0

  • r向量的值变化过程：+z（起始） ==> -y ==> -z ==> +y
    0 0 1
    0 -1 0
    0 0 -1
    0 1 0

  p、r变化过程图示为

  
  
  3D-围绕x旋转变化过程

  与三角函数的关系如图所示

  
  
  image

• 围绕Y、围绕Z与围绕x类似

  • 围绕Y轴时R的矩阵：010表示的是基向量，围绕谁懂，谁就必须由基向量表示
    
    围绕Y旋转

  • 围绕Y轴时R的矩阵：001表示的是基向量

    
    
    围绕z旋转

缩放与平移矩阵公式推演

• 2D缩放：基向量p和q分别乘以标量k
• 平移：在哪个轴平移，将这个轴的对应的值与平移距离相加