希尔伯特空间
作者：赵亮
链接：https://www.zhihu.com/question/19967778/answer/16114449
来源：知乎
做个类比,一般的3D矢量空间(我们最常见的)和Hilbert空间.在3D的矢量空间中,基底是i,j,k.维度是3(有限维).这三个基本的基矢量是完备的(矢量空间中任何一个元素都可以用这3个基底展开,系数唯一),正交的(不同的基底做点积为0.).矢量空间中的任意两个元素之间可以定义算符F,也就是操作.我们常常对保持元素A长度(自己和自己点积,A*A)不变的操作感兴趣,这样的操作形象上讲是转动,抽象些讲是满足F^2=1的操作,或者叫变换.再看看Hilbert空间,基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底,即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开,其实就是指傅里叶变换),正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G,也就是操作.我们常常对保持元素"长度"(自己和自己"点积")不变的操作感兴趣.由于Hilbert空间是复数域上的,常见的3D矢量空间是实数域上的,所以G^2=1的G和F是不同的,虽然表达式相同.
建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础,也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论,都是定义在Hilbert空间上的.
注意上面的论述中并没有涉及到矩阵.因为矩阵其实只是抽象定义的一种表现,或者说是抽象的定义的一种表示(representation)而已.这是群论的思想.所有这些后面发展起来的表示理论,在Hilbert空间中表示后,(尤其是算符的表示)显得非常重要.
