前面介绍了 FR 共轭梯度法,给出了其他不同线搜素下的全局收敛性。本节将讲述 CD 共轭梯度法,与 FR 的性质相类似,有了前面的基础,所以收敛性的证明很简单。
1987 年,Fletcher 提出了 CD 共轭梯度法,也被称为共轭下降法。这种算法的独特优点在于使用强 Wolfe 条件,CD 共轭梯度法显然满足充分下降性,显然对于 FR 共轭梯度法这是不能办到的。
1、简介
共轭梯度法是求解无约束优化问题常用的方法
其一般的迭代格式为
其中是参数。不同的决定不同的共轭梯度法。
1987 年,Fletcher提出了 CD 共轭梯度法,其形式为
我们考虑推广的 Wolfe 线搜素,其条件为
其中参数以及。显然,如果,则上述搜素条件就是强 Wolfe 条件,由 (3) 和 (4),知
利用上式和 (6) 式,得
从上式中的第一个不等式及,则必为下降方向,并使得充分下降条件
对某常数成立
在充分下降条件 (8) 和 Zoutendijk 条件成立的情况下,如果
对某成立,不难推知收敛关系式成立。
设线搜素条件 (5) 和 (6) 中的参数满足
根据和 (4) 式及 (7) 式,不难看出
这时,类似于 FR 的收敛性,可证明
对某常数成立,故如果方法不收敛,序列最多线性增长,从而 (9) 式成立,则,导致矛盾,因此当参数和满足 (10) 式时,共轭下降法必全局收敛。
2、收敛性分析
定理:设目标函数下方有界,导数连续,考虑 CD 共轭梯度法,其中步长因子满足推广的 线搜素。如果且,则有。
注:上述定理证明很简单,类似于 FR 共轭梯度法,不在此给出。对于和,戴彧虹表明 CD 共轭梯度法会不收敛,因此 (10) 中的条件对于 CD 共轭梯度法的收敛性是充分必要的。这些反例的构造挺难的,我个人感觉不是很重要,也不想给出。
3、参考文献
[1] Fletcher R. Practical methods of optimization, vol I: unconstrained optimization[M]. New York: John Wiley and Sons, 1987.
[2] 戴彧虹. 非线性共轭梯度法[M]. 科学出版社, 2000.