1.递归
考虑递归函数:
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)...*1
有很多方法来计算这个阶乘。一种方法是将n! =n*(n-1)，因此程序可以直接写成：
程序1
int factorial (int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return n*factorial(n-1);
}
}
为了运行这个程序，计算机需要建立一个乘法链：
factorial(n) → factorial(n-1) → factorial(n-2) → ... → factorial(1)。因此计算机必须跟踪稍后执行的乘法。
这类程序，其特征在于操作链，称为递归。递归可以进一步被分为线性和树递归，当跟踪的操作类所需的信息随着输入线性增长时，这个递归被称为线性递归。n!阶乘的计算是这种情况，因为所需时间是随着n增长线性增长的。另外一种树递归，当信息量随着输入指数级增长，后面我们再来讨论。
2.迭代
通过一个不同的视角来计算递归：首先将1和2相乘，然后结果与3相乘，然后与4，依次类推直到于n相乘。更正规的，程序可以使用从1到n计数的计数器，并且同时计算乘积直到计数器超过n。因此程序可以写成：
程序2
int factorial (int n) {
int product = 1;
for(int i=2; i<n; i++) {
product *= i;
}
return product;
}
这个程序与程序1比较，不需要构建一个乘法链。在每一步，计算机只需要跟踪当前的乘积和i的值。这类型的程序被称为迭代，它的状态可以由固定数量的变量，和一个描述变量如何被更新的固定规则以及指定程序退出的条件来总结。
与递归相同，当需要的时间随着输入线性增长的时候，我们称之为迭代线性递归。
3.递归和迭代
来比较这两个程序时候，我们发现它们几乎是一样的，特别是数据函数方面。它们都是通过多个步骤通过n来计算n!。
在另一方面，当我们考虑这两个程序的运行过程时候，它们演变又如此不同。
在迭代的情况下，程序变量提供了一个状态的完整描述。如果我们中间停止计算，恢复它之需要提供计算机所有变量。然而，在递归的程序中，信息是由计算机维护的，因此“隐藏”到程序中，这使得停止后几乎不可能恢复程序。
4.树递归
如上描述，当所需信息随着输入指数级增长的时候，发生了树递归。
例如，考虑如下定义的斐波那契数列的序列：
根据定义，斐波那契数列有以下的顺序，每个数字都是前面两个的和：
0,1,1,2,3,5,8,13,21,...
递归程序可以立即写成：
程序3：
int fib (int n) {
if (n == 0) {
return 0;
} else if (n == 1) {
return 1;
} else {
return fib(n-1) + fib(n-2);
}
}
因此当计算fib(5)的时候，计算需要计算fib(4)和fib(3).当计算fib(4)的时候，计算机需要计算fib(3)和fib(2).注意fib程序在最后调用自己两次。从定义和程序可以获得两个观察结果：
1、第n个斐波纳契数Fib（n）等于phi（n) /根平方（5）舍入到最接近的整数，这表明斐波那契数呈指数增长。
2、这是计算斐波纳契数的坏的方法，因为它有融于计算。计算运行这个程序的时候超出了本文的范围，但是可以很容易在算法书中找到它，为O(phi(n)).因此程序花费与输入成指数增长的时间量。
另一方面，我们还可以通过迭代的方式来编写程序计算斐波那契数列。程序四是线性迭代，程序3和程序四的时间差异是巨大的，即使是小的输入。
程序四：
int fib (int n) {
int fib = 0;
int a = 1;
for(int i=0; i<n; i++) {
fib = fib + a;
a = fib;
}
return fib;
}
然而，不应该认为树递归程序是无用的。
当我们考虑对分层数据结构而不是数据进行操作的时候，树递归是自然而有力的工具。它可以帮助我们理解和设计程序。将程序3和程序四比较，我们可以很容易认为程序3更直接，即使它的效率低。之后我们很可能将程序重新改写成迭代的形式。
