集合

交集·并集·差集

在中学阶段就学习过集合，部分内容不再赘述。以下是交集、并集、差集的概念：

幂集

设是一个集合，那么的所有子集为成员构成的几何成为是幂集，记作。

笛卡尔积

设是两个集合，定义集合

称为与的笛卡尔积，又称卡氏积，集合积。

基数

集合中元素个数称为集合的基数，记作。如果是无限的，则，称是无限集，否则是有限集。

关系

集合中的元素相互之间可能有关系（也可能没有关系）。例如全校的学生构成一个集合，某些学生可能是同班同学，那么他们就有关系。
等价关系，类似于数集中的“等于”的关系，要求满足：

1. 自反律 ；
2. 传递律 ，如果，那么；
3. 对称律 ，如果，那么。

偏序关系，类似于数集中的“大于等于/小于等于”的关系，要求满足：

1. 自反律 ；
2. 传递律 ，如果，那么；
3. 反对称律 ，如果，那么；

等价不一定是等于
例如一个学校的学生构成的集合，同班就是一种等价关系。甲乙同班，乙丙同班，那么甲丙同班……
我们把和都等价的元素构成的集合，称为等价类：

以的所有等价类构成的集合，称为关于等价关系的商集。

群

半群

定义：设是一个非空集合，满足

1. 有一个运算（常把这个运算写作乘法）；
2. 运算满足结合律 。

那么称为一个半群。

例如，正整数的集合关于加法运算是半群，客观上还满足交换律，是“加法半群”。

再如矩阵的乘法满足结合律，但是不满足交换律，所以固定阶数的矩阵也可以看作半群。

幺半群

定义：设是一个非空集合，满足

1. 有一个运算（常把这个运算写作乘法）；
2. 运算满足结合律 ；
3. 存在特定元素，使得。

那么称为一个幺半群。这样特殊的元素被称为“单位元”，记作。

前文提到的不是幺半群，因为它没有单位元。
而矩阵有单位矩阵，所以是幺半群。

群

定义：设是一个非空集合，满足

1. 有一个运算（常把这个运算写作乘法）；
2. 运算满足结合律 ；
3. 存在特定元素，使得；
4. 对，使得。

那么称为一个群。这里提及的关于是唯一的，称其为逆元，记作。即。

例如，整数集关于加法运算是群，客观上还满足交换律，是“加法群”。
群如果满足交换律，就称为交换群，又称 Abel 群（阿贝尔群），又称加群。

例如，所有的阶可逆复矩阵构成的集合是一个群，可以称为“n级一般线性群”。

映射·变换·对称

映射在中学阶段已经接触过，此处不表。
若矩阵自己到自己的映射，称为的变换。用来记集合所有变换的集合。来记集合所有可逆变换的集合。

同态·同构

设是群，是从群到群的映射，如果这一映射满足

则把这一映射称为同态。

如果是单射，就是单同态；若是满射，就是满同态；如果是双射，就是同构。

环

环

定义：设是一个非空集合，满足

1. 是一个交换群（加法结合律、加法交换律、零元、相反数）；
2. 是一个半群（乘法结合律） ；
3. 乘法对加法满足左、右分配律。

那么称为一个环。

幺环

在环的基础上，有乘法单位元，称为“幺环”。

定义：设是一个非空集合，满足

1. 是一个交换群（加法结合律、加法交换律、零元、相反数）；
2. 是一个半群（乘法结合律） ；
3. 乘法对加法满足左、右分配律。
4. ，并且是一个幺半群。

那么称为一个幺环。

交换环

在环的基础上，有乘法的交换律，称为“交换环”。

定义：设是一个非空集合，满足

1. 是一个交换群（加法结合律、加法交换律、零元、相反数）；
2. 是一个半群（乘法结合律） ；
3. 乘法对加法满足左、右分配律。
4. 满足乘法（）结合律

那么称为一个交换环。

例子

• 是交换幺环；
• 是交换幺环；
• 阶复矩阵是幺环；
  ……

同态·理想

设是环，是从环到环的映射，如果这一映射满足

则把这一映射称为同态。

如果是单射，就是单同态；若是满射，就是满同态；如果是双射，就是同构。

如果均为幺环，在同态的基础上，满足，则称为幺同态。

设是环，是它的一个非空子环，满足

1. 是的子群；
2. 有。

则把称为的理想。

一个非零环至少有两个理想和自身，分别称为零理想和单位理想，二者合称平凡理想。

域

零因子和整环

对于环的非零元，如果存在另一个非零元，使得，则称为左零因子。类似地可以定义右零因子。
在交换环中，零因子没有左右之分。

没有零因子的环，称为整环。

整环是交换的，满足消去律的环。

可逆元

如果可逆，有唯一的逆元与之对应。

记为环的所有可逆元的集合，这个集合是一个群。

除环和域

如果一个环的非零元都可逆，即，那么称为除环。

交换的除环称为域。

在中学数学中，接触过的有理数集合、实数集合和复数集合都是域。
再例如集合也是域，它是的非空子域。

集合的度量

前文提及用基数描述集合中元素的个数。但是当集合中元素有无穷多的时候，就有些无能为力。

例如偶数集合是整数集合的一个自己，看上去似乎是“偶数集合中元素的个数只有整数的一半”，但是每一个偶数除以 2 之后都是一个整数，每一个整数乘以 2 之后都是一个偶数，如此说来，偶数集合的元素个数应该和整数集合元素个数一样多。

对等

定义：若集合和之间能够建立一个双射，则称这两个集合对等，记为。

集合之间的对等关系是一种等价关系，满足自反律、传递律、对称律。

可数集·不可数集

和自然数集合对等的集合称为可数无穷集，简称可数集。它需要存在一个和一一对应的双射。

不和自然数集合对等的无穷极和，称为不可数无穷集，简称不可数集。

整数集合是一个可数集，把整数如下排列：

可以写出这个序列的通项公式，从而构建了双射。

偶数集合、完全平方数集合等，都是可数集。

有理数集合是一个可数集，把有理数如下排列：

可以写出这个序列的通项公式，从而构建了双射。

1873 年，康托证明了有理数集合是一个可数集。

平面直角坐标系中，自然数点集是一个可数集，类似于有理数集合的证法。

代数数集合也是一个可数集。实数集合是不可数集合。

连续统

和自然数集合对等的集合是可数集。

类似地，和实数集对等的集合是连续统。