高等代数 | 直和

昨天的推文忘了一个题，今天补上:

(华东师范大学,2022)设 ${U,V,W}$ 是 6 维线性空间的三个 3 维子空间,且 ${U \cap V=\{0\}}$ ,求 ${\operatorname{dim}((U+W) \cap(V+W))}$ 的最大值与最小值.

solution
首先记 6 维空间为 ${V_{0}}$ ,根据 ${U \cap V=\{0\}}$ 可知 ${U+V}$ 为直和,再结合维数可知
${ V_{0}=U \oplus V . }$
其次,根据 ${W \subseteq(U+W) \cap(V+W) \subseteq V_{0}}$ 可知
${ 3 \leqslant \operatorname{dim}(U+W) \cap(V+W) \leqslant 6 . }$
一方面,取 ${W=U}$ ,有
${ \begin{aligned} \operatorname{dim}((U+W) \cap(V+W))&=\operatorname{dim}((U+U) \cap(U+V))\\&=\operatorname{dim}\left(U \cap V_{0}\right)\\&=\operatorname{dim} U=3 . \end{aligned} }$
所以 ${\operatorname{dim}((U+W) \cap(V+W))}$ 的最小值为 3 .
另一方面,设 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}}$ 与 ${\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}}$ 分别为 ${U,V}$ 的一组基,根据 ${V_{0}=U \oplus V}$ 可知 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}}$ 是 ${V_{0}}$ 的一组基,从而它们线性无关,那么 ${\alpha_{1}+\beta_{1},\alpha_{2}+\beta_{2},\alpha_{3}+\beta_{3}}$ 也线性无关,现在取
${ W=L\left(\alpha_{1}+\beta_{1},\alpha_{2}+\beta_{2},\alpha_{3}+\beta_{3}\right) . }$
则 ${\operatorname{dim} W=3}$ ,同时
${ \begin{array}{l} U+W=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{1}+\beta_{1},\alpha_{2}+\beta_{2},\alpha_{3}+\beta_{3}\right)=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\right)=V_{0} \\ V+W=L\left(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\alpha_{1}+\beta_{1},\alpha_{2}+\beta_{2},\alpha_{3}+\beta_{3}\right)=L\left(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)=V_{0} . \end{array} }$
此时
${ \operatorname{dim}((U+W) \cap(V+W))=\operatorname{dim}\left(V_{0} \cap V_{0}\right)=\operatorname{dim} V_{0}=6 . }$
所以 ${\operatorname{dim}((U+W) \cap(V+W))}$ 的最大值为 6 .

直和问题

(上海大学,2022;北京邮电大学,2022)设 ${A,B,C,D}$ 为 ${n}$ 阶实矩阵,两两可交换,并满足 ${A C+B D=I}$ ,如果 ${V=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} | A B X=0\right\},V_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} | B X=0\right\},V_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} | A X=0\right\}}$ ,求证: ${V=V_{1} \oplus V_{2}}$ .

proof
由于 ${A C+B D=I}$ ,所以对任意的 ${\alpha \in V}$ ,有
$\alpha=A C \alpha+B D \alpha .\quad (1)$
由于 ${A B \alpha=0}$ ,且 ${A,B,C,D}$ 两两可交换,所以
${ B(A C \alpha)=C(A B \alpha)=0,A(B D \alpha)=D(A B \alpha)=0 . }$
这说明 ${A C \alpha \in V_{1},B D \alpha \in V_{2}}$ ,所以(1)式说明 ${V \subseteq V_{1}+V_{2}}$ .而对任意的 ${\beta \in V_{1}}$ ,有 ${B \beta=0}$ ,进而 ${A B \beta=0}$ ,即 ${\beta \in V}$ ,所以 ${V_{1} \subseteq V}$ ,同理 ${V_{2} \subseteq V}$ ,从而 ${V_{1}+V_{2} \subseteq V}$ ,那么
${ V=V_{1}+V_{2} . }$
另外,对任意的 ${\gamma \in V_{1} \cap V_{2}}$ ,有 ${B \gamma=A \gamma=0}$ ,进而结合 (5) 式可知
${ \gamma=C(A \gamma)+D(B \gamma)=0 . }$
即 ${V_{1} \cap V_{2}=\{0\}}$ ,所以 ${V=V_{1} \oplus V_{2}}$ .

(南京师范大学,2022)设 ${P}$ 是数域, ${m < n,A \in P^{m \times n},B \in P^{(n-m) \times n},V_{1}}$ 和 ${V_{2}}$ 分别是齐次线性方程组 ${A X=0}$ 与 ${B X=0}$ 的解空间,证明: ${P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}}$ 的充分必要条件是 ${\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right) X=0}$ 只有零解.

proof
必要性.由于 ${P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}}$ ,所以 ${V_{1} \cap V_{2}=\{0\}}$ ,而对于方程组 ${\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right) X=0}$ 的任意解 ${\alpha}$ ,有 ${A \alpha=B \alpha=0}$ ,这说明 ${\alpha \in V_{1} \cap V_{2}}$ ,所以 ${\alpha=0}$ ,即方程组只有零解.
充分性.首先记 ${W=V_{1}+V_{2}}$ ,明显 ${W}$ 是 ${P^{n}}$ 的线性子空间.由于方程组 ${\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right) X=0}$ 只有零解,所以 ${\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right)}$ 为可逆矩阵,即 ${A,B}$ 的行向量组均线性无关,进而 ${r(A)=m,r(B)=n-m}$ ,于是
${ \operatorname{dim} V_{1}=n-r(A)=n-m,\operatorname{dim} V_{2}=n-r(B)=m . }$
同时对任意的 ${\alpha \in V_{1} \cap V_{2}}$ ,有 ${A \alpha=B \alpha=0}$ ,进而 ${\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right) \alpha=0}$ ,所以 ${\alpha=0}$ ,即 ${W=V_{1} \oplus V_{2}}$ ,那么
${ \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=(n-m)+m=n=\operatorname{dim} P^{n} }$
再结合 ${W \subseteq P^{n}}$ 可知 ${W=P^{n}}$ ,即 ${P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}}$ .

(大连理工大学,2022)设数域 ${P}$ 上 ${n}$ 维线性空间 ${V}$ 的一组基为 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}}$ ,令 $\beta=\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}$ ,已知 ${V_{1}}$ 为 ${\beta}$ 生成的子空间如下
${V_{2}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n} | \sum\limits_{i=1}^{n} k_{i}=0,k_{i} \in P,i=1,2,\cdots,n\right\}}$
证明：
${ V=V_{1} \oplus V_{2} . }$

proof
明显 ${V_{1},V_{2}}$ 均为 ${V}$ 的子空间,所以 ${V_{1}+V_{2} \subseteq V}$ .另外,对任意的 ${\alpha \in V}$ ,不妨设
${ \alpha=x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+\cdots+x_{n} \alpha_{n} }$
记 ${k=\dfrac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}}$ ,则有
$\alpha=k\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}\right)+\left(x_{1}-k\right) \alpha_{1}+\left(x_{2}-k\right) \alpha_{2}+\cdots+\left(x_{n}-k\right) \alpha_{n} .\quad (2)$
明显
${ k\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}\right) \in V_{1} }$
同时由 ${\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-k\right)=\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}-n k=0}$ 可知
${ \left(x_{1}-k\right) \alpha_{1}+\left(x_{2}-k\right) \alpha_{2}+\cdots+\left(x_{n}-k\right) \alpha_{n} \in V_{2} }$
所以(2)式说明 ${\alpha \in V_{1}+V_{2}}$ ,即 ${V \subseteq V_{1}+V_{2}}$ ,那么 ${V=V_{1}+V_{2}}$ .
另外,对任意的 ${\alpha \in V_{1} \cap V_{2}}$ ,由 ${\alpha \in V_{1}}$ 可知存在常数 ${l}$ ,使得
${ \alpha=l\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}\right) . }$
再由 ${\alpha \in V_{2}}$ 可知 ${\sum\limits_{i=1}^{n} l=n l=0}$ ,即 ${l=0}$ ,于是 ${\alpha=0}$ ,即 ${V_{1} \cap V_{2}=\{0\}}$ ,所以 ${V=V_{1} \oplus V_{2}}$ .

(东华大学,2022)设实矩阵 $A \in M_{m,n}(\mathbb{R}),$ $B \in M_{s,n}(\mathbb{R})$ , $C=\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right)$ ,且 ${A B^{T}=O}$ , ${r(A)=m,}$ $r(B)=s,n > m+s$ .证明:

${r(C)=m+s}$ ;

${\operatorname{Ker} C \oplus \operatorname{Im} B^{T}=\operatorname{Ker} A}$ ,其中 ${\operatorname{Ker} A=\left\{\alpha \in \mathbb{R}^{n} | A \alpha=0\right\},}$ ${\operatorname{Im} B^{T}=\left\{B^{T} \alpha | \alpha \in \mathbb{R}^{s}\right\}}$ .

proof

考虑实数域上的齐次线性方程组 ${C^{T} X=0}$ ,设 ${X=\left(\begin{array}{c}X_{1} \\ X_{2}\end{array}\right)}$ ,其中 ${X_{1},X_{2}}$ 分别为 ${m,s}$ 维实列向量,若
$C^{T} X=\left(\begin{array}{ll} A^{T} B^{T} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} X_{1} \\ X_{2} \end{array}\right)=A^{T} X_{1}+B^{T} X_{2}=0 \quad (3)$
上式两端左乘 ${B}$ ,结合 ${B A^{T}=\left(A B^{T}\right)^{T}=O}$ 可得
${ B A^{T} X_{1}+B B^{T} X_{2}=B B^{T} X_{2}=0 . }$
进而
${ X_{2}^{T} B B^{T} X_{2}=\left(B^{T} X_{2}\right)^{T}\left(B^{T} X_{2}\right)=\left|B^{T} X_{2}\right|^{2}=0 . }$
于是 ${B^{T} X_{2}=0}$ ,而 ${r\left(B^{T}\right)=r(B)=s}$ ,即 ${B^{T}}$ 列满秩,所以方程组 ${B^{T} X=0}$ 只有零解,即 ${X_{2}=0}$ ,那么再结合(3)式可知 ${A^{T} X_{1}=0}$ ,同时 ${A^{T}}$ 也列满秩,所以方程组 ${A^{T} X=0}$ 也只有零解,即 ${X_{1}=0}$ .综上可知方程组 ${C^{T} X=0}$ 只有零解,所以 ${C^{T}}$ 列满秩,即
${ r(C)=r\left(C^{T}\right)=m+s . }$
首先对任意的 ${\alpha \in \operatorname{Ker} C}$ ,有
${ C \alpha=\left(\begin{array}{l} A \\ B \end{array}\right) \alpha=\left(\begin{array}{l} A \alpha \\ B \alpha \end{array}\right)=0 }$

特别地,也有 ${A \alpha=0}$ ,即 ${\alpha \in \operatorname{Ker} A}$ ,这说明 ${\operatorname{Ker} C}$ 为 ${\operatorname{Ker} A}$ 的子空间.其次,对任意的 ${\beta \in \operatorname{Im} B^{T}}$ ,显然存在 ${\gamma \in \mathbb{R}^{s}}$ ,使得 ${\beta=B^{T} \gamma}$ ,那么结合 ${A B^{T}=O}$ 可知
${ A \beta=A B^{T} \gamma=0 . }$
即 ${\beta \in \operatorname{Ker} A}$ ,这说明 ${\operatorname{Im} B^{T}}$ 也是 ${\operatorname{Ker} A}$ 的子空间,于是
${ \operatorname{Ker} C+\operatorname{Im} B^{T} \subseteq \operatorname{Ker} A }$
现在记 ${W=\operatorname{Ker} C+\operatorname{Im} B^{T}}$ ,则 ${W \subseteq \operatorname{Ker} A}$ .另外,对任意的 ${\eta \in \operatorname{Ker} C \cap \operatorname{Im} B^{T}}$ ,由 ${\eta \in \operatorname{Ker} C}$ 可知
${ C \eta=\left(\begin{array}{l} A \\ B \end{array}\right) \eta=\left(\begin{array}{c} A \eta \\ B \eta \end{array}\right)=0 . }$
特别地,有 ${B \eta=0}$ .由 ${\eta \in \operatorname{Im} B^{T}}$ 可知存在 ${\delta \in \mathbb{R}^{s}}$ ,使得 ${\eta=B^{T} \delta}$ ,于是 ${B \eta=B B^{T} \delta=0}$ ,进而
${ |\eta|^{2}=\eta^{T} \eta=\left(B^{T} \delta\right)^{T}\left(B^{T} \delta\right)=\delta^{T} B B^{T} \delta=0 . }$
所以 ${\eta=0}$ ,即 ${\operatorname{Ker} C \cap \operatorname{Im} B^{T}=\{0\}}$ ,从而
${ W=\operatorname{Ker} C \oplus \operatorname{Im} B^{T} . }$
而明显 $\operatorname{dim} \operatorname{Ker} C=n-r(C)=n-m-s$ , $\operatorname{dim} \operatorname{Im} B^{T}=r(B)=s$ , $\operatorname{dim} \operatorname{Ker} A=n-r(A)=n-m$ ,所以
${ \begin{aligned} \operatorname{dim} W&=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} C+\operatorname{dim} \operatorname{Im} B^{T}\\&=n-m\\&=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} A . \end{aligned} }$
于是再结合 ${W \subseteq \operatorname{Ker} A}$ 可知 ${W=\operatorname{Ker} A}$ ,即 ${\operatorname{Ker} C \oplus \operatorname{Im} B^{T}=\operatorname{Ker} A}$ .

note
证明 $V=V_1$ 直和 $V_2$ 的两种方法:

方法一.先证明 $V=V_1+V_2$ ,再证明 $V_1$ 与 $V_2$ 的和为直和

方法二.先证明 $V_1+V_2$ 为直和,再结合维数公式说明其等于 $V$

有一些note由于有太多的引用跳转，所以这里无法写完整，不好搞了。还是看完整版方便。

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