矩阵的SVD分解

矩阵的奇异值分解在最优化问题、统计学方面等等起到了很大的作用。写这篇文章的原因主要是最近在复习《矩阵论》，感觉书中写的奇异值分解还是很详细的，所以就有想将它写下来的欲望。在介绍奇异值分解之前，首先得知道矩阵的正交对角分解。

矩阵的正交对角分解

有推论可得存在一个n阶实对称矩阵 $A$ ，则存在正交矩阵 $Q$ ，使得

$Q^TAQ=diag(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) \quad (1)$

以上成立的条件是 $A$ 是实对称矩阵，但对于实的非对称矩阵 $A$ ，不再有上式的分解，所以就有了下面的正交对角分解。

定理：设 $A\in R^{n\times n}$ 可逆，则存在正交矩阵 $P$ 和 $Q$ ，使得

$P^TAQ=diag(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n) \quad (2)$

其中 $\sigma_i>0(i=1,2,\dots,n)$ 。

上式是一个比较简单的证明，试想 $A$ 不是一个实对称矩阵，那么就得把它变成一个实对称矩阵，能想到的就是 $A^TA$ ，可以得到它是一个实对称矩阵，那么得到

$Q^TA^TAQ=diag(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$

其中 $A^TA$ 的特征值 $\lambda_i$ 都是大于0的，因为 $\lambda_ix_i^Tx_i=x_i^TA^TAx_i=(Ax_i)^2>0$ ， $A^TA$ 是一个对称正定矩阵，令：

$\sigma_i=\sqrt \lambda_i$ ， $\Lambda =diag(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n）$

得到 $Q^TA^TAQ=\Lambda^2$ ，两边同时左乘 $\Lambda^{-1}$ 得到 $(AQ\Lambda ^{-1})^TAQ=\Lambda$ ，两边再右乘 $\Lambda^{-1}$ ，得到 $(AQ\Lambda ^{-1})^TAQ\Lambda^{-1}=I$ ，

令 $P=AQ\Lambda^{-1}$ ，可知它是一个正交矩阵，所以就可以得到 $P^TAQ=\Lambda$ 。

矩阵的奇异值分解

由于在实际过程中，矩阵的行和列往往是不相等的，而且矩阵的逆也不一定都存在，所以，这就需要奇异值分解了。

定义：

设 $A\in C_r^{m\times n}(r>0)$ ， $A^HA$ 的特征值为（r为A的秩）

$\lambda_1\geq \lambda_2\geq \dots\geq \lambda_r>\lambda_{r+1}=\dots=\lambda_n=0$

则称 $\sigma_i=\sqrt \lambda_i（i=1,2,\dots,n）$ 为 $A$ 的奇异值。

（奇异值分解）定理:

设 $A\in C_r^{m\times n}(r>0)$ ，则存在m阶酉矩阵（相当于复数域上的正交矩阵）U和n阶酉矩阵V，使得

$U^HAV=\begin{bmatrix}\Sigma &\quad O\\O &\quad O \end{bmatrix}$

其中 $\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_r)$ 。

证：根据矩阵的正交对角分解，可以得到 $V^HA^HAV=\begin{bmatrix}\Sigma^2 &\quad O\\O &\quad O \end{bmatrix}$ ，两边同时左乘以V，并将V分解为 $V =\begin{bmatrix}V_1 \quad V_2\end{bmatrix}$ ， $V_1\in C_r^{n\times r},V_2\in C_{n-r}^{n\times (n-r)}$ 所以可以写成

$A^HAV_1=V_1\Sigma^2，A^HAV_2=O$

将前面的式子两边左乘 $V_1^H$ ，再左乘 $\Sigma^{-1}$ 得到 $\Sigma^{-1}V_1^HA^HAV_1=\Sigma\Rightarrow (AV_1\Sigma^{-1})^HAV_1=\Sigma$ ，可以设 $U_1=AV_1\Sigma^{-1}$ ，则 $U_1^TU_1=I_r$ ，即 $U_1$ 的r个列向量是两两正交的单位向量， $U_1=(u_1,u_2,\dots,u_r)$ ，将其扩充到 $C^m$ 的标准正交基，就是增加向量 $(u_{r+1},\dots,u_m)$ ，则

$U=\begin{bmatrix}U_1 \quad U_2\end{bmatrix} =(u_1, u_2,\dots,u_{r+1},\dots,u_m) ，\quadU_1^HU_1=I_r， U_2^HU_1=O$

于是可得

$U^HAV=U^HA\begin{bmatrix}V_1 \quad V_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}U_1^T \\ U_2^T\end{bmatrix} \begin{bmatrix}U_1 \Sigma \quad O \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}U_1^HU_1 \Sigma \quad O \\U_2^H U_1\Sigma \quad O\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \Sigma \quad O \\O \quad O\end{bmatrix}$

所以

$U^HAV=U\begin{bmatrix}\Sigma &\quad O\\O &\quad O \end{bmatrix}V_H$

由上面的证明可以看出SVD分解并不是唯一的。

其它

根据对矩阵A进行SVD分解，记U和V的列向量分别为 $u_1,u_2,\dots,u_m$ 和 $v_1,v_2,\dots,v_n$ ，可以得到

$N(A)=L(v_{r+1},v_{r+2},\dots,v_n)\\R(A)=L(u_1,u_2,\dots,u_r)\\A=\sigma_1u_1v_1^H+\dots+\sigma_r u_rv_r^H$

第一个式子表示矩阵A的零空间是由 $V_2$ 的列向量张成的空间，可以证明：

$N(A)=\{ x|Ax=0 \}=\{ x| U_1 \Sigma V_1^H x=0 \}\\=\{ x|V_1^H x=0 \}=\{ x|x=k_{r+1}v_{r+1}+\dots+k_nv_n \}=L(v_{r+1},\dots,v_n)$

上式经常用于求解齐次线性方程组 $Ax=0$ ，根据它的零空间，可以得到x的值就是 $V_2$ 列向量的线性组合

第二个式子表示矩阵A的值域是 $U_1$ ，可证：

$R(A)=\{ y|y=Ax \}=\{ y|y=U_1(\Sigma V_1^Tx) \}\subset R(U_1)$

$R(U_1)=\{ y|y=U_1z \}=\{ y|y=A(V_1 \Sigma^{-1}z) \}\subset R(A)$

所以两者的值域是一样的。

参考书籍

《矩阵论》张凯院、徐仲

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定义：

（奇异值分解）定理:

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