近代战争理论中，有一个叫做兰开斯特战斗力计算方程的东西。
经常逛铁血网或者做游戏数值的大概对这货很熟悉。
兰开斯特战斗力计算方程分为两个版本，分别是线性律的远战公式和平方律的近战公式。
下面，就让我们用这货来玩一点变态的东西吧。
我们先看兰开斯特近战公式。
假定，红军有x人，蓝军有y人，这里x和y都可以写成时间的函数，因为所谓交战就是红蓝相互杀对方的人。
然后，假定红军的单位作战单位的战斗力为a，蓝军的单位作战单位的战斗力为b，那么双方人数的变化就应该是这样的：
这就是著名的兰开斯特近战方程。
这个方程当然可以有解析解：
这其实就是两条双曲正弦曲线，只不过写成了指数函数的形式，因为这样更加便于分析。
两个解的第一部分都是随着时间而降低的函数，本身没什么问题，有趣的是第二部分，这个部分不看系数而只看指数部分的话，我们知道是一个随着时间而快速增长的单调增函数，而结合系数之后我们就知道，如果sqrt(a) x_0大于sqrt(b) y_0，那么y最后肯定会在有限时间内降为0，从而蓝军被全灭；而如果反过来，那么x最后肯定会在有限时间内降为0，从而红军被全灭。而，无论哪一方被全灭，剩下来的一方的兵力数量为：
这里分母上的a|b表示如果红军胜利则选a，如果蓝军胜利则选b。
也就是说，两军的战斗单位数量的平方乘上单位战斗力是一个近战过程中的决定性因子，或者也可以说：军队总战斗因子正比于战斗单位的数量的平方。
这就是近战的兰开斯特平方律。
让我们回到原始的微分方程。
这里真正有价值的问题是：为何方程是这个样子。
解出方程不过是细枝末节，了解方程为何是这个样子，它背后蕴含的道理，这样才有助于我们将问题拓展推广出去，比如考虑降龙十八掌与六脉神剑的战斗方程，或者00高达与RX-78-2的战斗方程，就都可以以兰开斯特方程为基础做出推广。
<u>【嗯，似乎什么奇怪的东西混进来了……】</u>
让我们先建立一个简单的模型——对，物理的本质就是玩命地建立模型，大家把这句记下来。
我们现在有一个网，总共有x+y个节点。每个节点记为p_i，或者在不会引起误会的时候就可以简记为p。
每个节点都与部分别的界都有线相连，相连表示具有攻击或者被攻击的可能。
于是，每个节点p的“邻点”记为集合{N_j}，其数量为N_p。在这N-P个节点中，敌军数量为E_p，友军数量为F_p，从而p节点受到攻击的概率正比于E_p。
但是，并不是每个E_p都会攻击p，因为一个人不能同时攻击{N_j}中的所有敌军，一次只能攻击一个。因此，E_p中的敌军q攻击p点的概率反比于q的邻点中的的敌军（从而就是p的友军）数。
然后，每次节点p收到节点q攻击的时候，都会有一定的概率P(p,q)造成节点p的死亡。
知道了这些，我们就可以建立一套方程了：
这里左面的Δx表示的是单位时间内被消灭的单位数，X表示当前时刻还可活动的战斗单位节点集。求积的部分是没有被击中的概率，从而累积求积就可以给出一个战斗单位的总生还概率，因此被求和的部分就是单个战斗单位被消灭的概率，求和结果就是总被消灭数。
当然，需要注意的是，这里给出的是被消灭单位数，要真正写成差分方程的时候这里就要给出一个负号。
这个方程的使用范围比此前的兰开斯特近战方程要广，因为这里每个节点的邻点集其实可以涵盖各种方面的问题，比如由于排兵布阵导致的局部优势等等。
当我们考虑一个最平均的状态时，即当我们认为两军的所有作战人员都进行了充分的混合，每个节点都和别的节点一样的时候（物理上将这种理想化方法称为“平均场方法”），上述差分方程就可以写为：
这就是著名的兰开斯特近战方程的差分形式。
接下来考虑阵型对近战的影响。
在最初的方程中，最外面的那个求和其实就表示，每个节点的情况可能是不同的。
下面，让我们将x军的节点分为两类，一类是与敌方y有接触的节点，一类是不与敌方y有接触的节点。因此，显然对于第二类节点来说，他们就不会受到伤害从而死亡，因此只有第一类节点是需要在求和中被考虑的。
接下来，我们对第一类节点采用平均场方法，于是就可以得到这种“边界交锋”形式的兰开斯特交战方程：
这里的y_edge就是y的第一类节点的数量。之所以叫边界edge，因为现在可以看成双方只有在边界上有接触，从而发生相互作用——厮杀。
因此，很显然的，如果可以保持军队在交锋的局部占有优势，那么就可以通过局部战斗的优胜来扭转整体上的不足。
比如说，x总共只有100人，y有200人，双方的单位战斗人员战斗力相等（也就是P_x=P_y），那么当双方进入完全混合的均质状态时，很显然x是处于下风的，会被很快地消灭——这就是兰开斯特平方律。
但，如果x通过合理的地形与阵型运用，将y包围起来，只有边界上的人可以与x的部队接触，而y的边界只有10人，全部地承受来自x所有人的攻击（近战体位也就是N_p的极限当然不可能允许10人干一人的情况发生，这里只是举个例子），那么在边界上x是占有绝对优势的——100人干10人，于是战况就变成了每次x都是以人多欺负y的人少，最后将y全部消灭。事实上在这个过程中，y死完边界上的10人，x的代价是死0.51人，于是每一轮都是这样，结果就是x没死光，但y死光了。
这就是局部优势。
当然，在近战的时候，能用上这种局部优势的情况不多。
比如平原上的两军硬推，除了一开始会有一段边界遭遇的情况，此后很快就演化成了充分混合的匀场状态，回到了最开始的兰开斯特近战方程的领域。
在比如峡谷里的遭遇战，此时的确会有两类士兵的分化：遭遇边界与内部，但此时遭遇边界上双方士兵的数量其实是相近的，在纯近战的情况下，大概更考验的就是双方单兵战斗力以及前后两排人的协作与部位能力了，人数已经不是重点。
当然，利用地形来制造之中局部优势的情况也不是没有，比如喇叭形的地形，一队从宅口出来，另一方在宽口大包围，于是就有可能出现前者两三个三四个出来，遭遇对方十来个人群殴的悲惨事件。
还有可能就是一队队形松散，一队队形紧凑，这么一个遭遇战，松散的部队单兵要承受的对方兵力就会更多，然后就被瓦解了。
再来比如一个是守方一个是攻方，守方的军力极大地分散，而攻方却是集中兵力于一点进行突击，这样也会产生局部优势——事实上，近代军事理论中对于防守一方就有这种兵力上的疑难。要让整条防线的兵力都能保持与进攻方可抗衡是不可能的，所以类似静态的无敌防线这样的东西是不可能出现的。防御更多的是通过一定的方式拖住对方的进攻主力，然后让自己的进攻主力可以快速移动过来进行对战，是运动的动态防守法，而不是靠一处的防御就把对方彻底挡住这种静态防守法。
分析完近战，接下来来分析远攻。
远攻的基本思想和近战还是有极大的不同的。
近战中，每个人收到的攻击极大地依赖于它的“邻点”的构成，但对于远攻来说则没有了这一限制——当然，前提是你要在射程范围内开火。
远攻也可以分为两种。
一种是类似《英雄》中的秦军箭阵，一发动就是一块飞矢砸过去，对方顿时变成刺猬。其特点就是攻击曲线是弹道曲线这样的弧形，攻击者斜向上放箭，被攻击者收到来自斜上方的箭雨洗礼。适用于中远距离攻击。
另一类是类似《魔戒》中精灵弓箭手大帅哥那样的攻击，也是我们在魔兽中经常看到的，近中距离直线攻击。
一般交战中，先是远距离箭阵，第一类攻击法，然后对方靠近了，就是前排弓箭手的直线攻击法，第二类。放在现代战争中，第一类就是大炮与导弹，第二类就是火箭弹与枪械。拿破仑在巷战中别开生面地将本来是第一类攻击的大炮改打第二类攻击，收获奇效。
在数学上，第一类攻击基本算是远距离点攻击，而第二类攻击就是中距离线攻击。当然，这也与兵器的属性有一定的关系。
先说第一类攻击，单次攻击造成的伤害除了与武器本身的属性有关外，还与被攻击方的状态相关。
比如说，以弓箭的第一类攻击来说，其命中对方的成功率正比于对方部队的单位面积上的作战单位数，也就是战斗单位数密度。反过来，如果从被攻击的一方来考虑，一个作战单位收到远距离攻击的可能性，等于对方对自己所在区域的关注程度与自己的有效收伤害面积的乘积成正比。从而写成数学公式的形式就是：
这里P(p,q)表示敌军q对我方一作战单位p的击杀成功率，也可以理解为一般所称的“攻击力”。A(q,p)是敌军q对p所在位置的攻击意图，在平均场模型下这个攻击意图就是我军总占地面积的倒数。S(p)是p的有效被攻击面积，躲在掩体后的话且没有穿墙弹的话就是0，站在外面就是人的单侧表面积，蹲下来还能更小。不过对于第一类攻击来说最好的其实是头迎着箭矢攻击方向站，受攻击面积最小。。。。。。
我们还是走平均场的方法，这个东西就可以简化为兰开斯特远战方程：
这是对于第一类攻击来说的，而且也是最简情况。
第一类攻击除了箭矢还有别的，比如具有溅射伤害属性的炮弹（当然，似乎更应该说是冲击波伤害才对。实际战场上有很多人是在一枚炮弹落下来后被震波或者冲击波震碎内脏而死的，这也算是“溅射”么。。。）或者衍生伤害（比如男巫放一个闪电链，被击中的对象会成为次级电源向周围的友军进行二次伤害，当然实际战场上应该没有这种。。。。。。不过生化武器说不定可以通过友军作为次级传染源，这个或许也算）。
对于具有溅射伤害的，方程形式不变，只不过S_p的考量要发生改变而已，所以具体形式不会有太明显的改变。
而具有次生伤害的就比较复杂了，而且以尸体为次生源和以活体为次生源的计算又有不同，不过大致上都可以写成这样的形式：
因此，这个如果要算战斗因子的话，就只是一个p_x了，和人数的线性或者平方都无关，而它的解析解则为：
可见如果双方都进行这种次生伤害战，那么双方最后的结局就是双方都被全灭。。。
对于第二类远攻，情况就有所不同了。
第二类远攻分为渗透形和非渗透形。
渗透性远攻中，攻击器具可以穿透第一个受其伤害的对象并继续对其后的下一个对象造成伤害，而非渗透性远攻中攻击器具在对对方造成伤害后不会穿透并对下一个对象造成伤害。而这一类与第一类远攻的共同区别，就是最先可能受到伤害的是在整个团体最外层的，而第一类远攻则是直接对所有的点都有攻击的可能。
先来考虑非渗透性远攻。此时的情况其实等于将军队分为两类，一类是可以被攻击到的边缘，一类是不会被攻击到的内部，然后的战斗方程就是对第一类的第一类远攻。这里收到部队队形的影响很大——如果军队就站成一排任你打，那就是第一类远攻。我们可以近似地认为，如果部队总人数为x，那么会被攻击到的边缘的人数为a√x，因为面积与边的关系为平方关系，而a是和队形相关的形状因子。这么一来，对于非渗透的第二类远攻，我们得到的方程为：
而对于渗透性远攻，则通过分析可以知道，最后的战斗方程在形式上与第一类远攻是相当的。
当远攻兵种遭遇近战兵种，由于兵种天赋不同，一般的过程就是一开始近战兵种只能挨打，而受到的伤害却是第一类远攻的战斗方程所描述的；拉近距离后是第二类远攻的战斗方式所描述的伤害，直到接近战，双方这才进入近战模式。如果在近战模式的混合作战下依然使用远攻，那么此时就还要在战斗伤害中算上己方的误伤概率，这个就比较呵呵了。
有了近战，有了远攻，基本上绝大部分战斗的形式都可以从上面的内容中变化而来。
比如说，对于骑兵来说，就是将上述两类方程做一个结合。
比如说，骑兵的一般攻击方式为冲刺以及冲刺结束后的砍杀。而骑兵的冲刺可以看作是渗透性第二类远攻，尤其是重骑兵铁浮屠的一轮Rush，基本就是一根人马合一的血肉长箭长驱直入。骑兵的另一种攻击模式是骑射，这其实也就是第二类远攻。
因此，骑兵相比近战的步兵与远战的骑兵，在战斗方程上的体现，就是由于兵种属性以及盔甲、速度等的不同而导致的攻击敌方的成功率以及被攻击的几率的参数变化而已。
而，更加现代的比如坦克，它对步兵的碾压伤害可以参考渗透性远攻的模型，对其它重装甲的攻击则也是远攻的模型。
非但现实中的武器可以被如此描述，对于非现实中的东西我们也可以做相同的类比。
比如说，降龙十八站的战斗方程应该是什么样的？
就个人的观察来说，降龙十八掌的战斗以近战为主，但萧峰和人对战的时候却也带有远攻的属性，所以应该是近战加上非渗透性第二类远攻。
逍遥派的功夫基本近战远攻皆可，且一般都是第二类远攻，而且一般都是非渗透性的。
而后的六脉神剑，当然也是近战与远攻皆可，但六脉神剑的特点，却是它是渗透性远攻。
同样是渗透性的还包括东方不败的绣花针，穿透一人后可以继续穿刺第二人，当然这是根据针本身的特殊性来推测的。
而和东方不败教授的人中，吸星大法当然是近战，独孤九剑却也是近战，都没有远战的兵种，从战斗方程来看其实这已经天生吃亏了。
功夫里面为例最大的其实还属唐门毒功，中招的人说不定就成为了次生病原，对队友造成伤害。
但，这还不是最厉害的功夫，最厉害的功夫其实是一套独特的内功——逍遥派的北冥神功。没记错的话，段誉手搭对方一个小喽罗，然后这个小喽罗又和别人一搭，结果就都被吸走了内力，可见这门功夫只要手上经络脉门穴位相连，就可以像病毒一样地传播出去，从而就成了威力正比于地方军队二次方的超级武功——更离谱的是和他交战的人如果是近战，被他搭上，立刻攻击力尽失，实在是可谓可怖。
非但个人功夫可以如此分析，阵法也可以由此分析。
比如说，为何全真教的天罡北斗七星剑阵很牛逼？因为这七个人联合在一起的剑阵，就是七人近战，实际效用等于四十九倍的单人攻击力。而金庸小说的所有阵法里，罕有超过七人的。郭靖在一开始的时候一人单挑七星剑阵而不败，可见他的单兵攻击力等于全真七子任何一人的五十倍。。。。。。王重阳泉下有知不知会做何感想。。。。。。
中国小说里还算有阵法，日本漫画里就基本都是一对一单挑了。而且，热血漫画的基本套路就是前期还是两个人近战，到后来就都成了两个人远攻。比如一开始的小悟空那是近战英雄，后期的超三妥妥的远攻英雄。
《生化危机》系当然是和男巫、唐门、北冥神功类似的超级扩散系攻击方式了，这个在《瘟疫公司》里也有体现。当然，僵尸病毒相比北冥神功之类更逆天的地方在于，它不但能伤敌，还能生兵，这是最过分的。所以，比如漫威的僵尸英雄世界，就连超级英雄也奈何不了僵尸病毒，这是很容易理解的。
如果考虑普通人和僵尸的战斗，要诀就是千万不要近战，一堆人和一堆僵尸打架，结果就是妥妥的两堆僵尸。。。
从战斗方程来看，如何消灭僵尸最好？利用地形造成局部人数优势，然后集中优势兵力消灭对方，并且以远攻为主，尽量不做接触战。比如《生化危机二》电影里一群特警占据了一小店，以狙击枪消灭僵尸，这个战略就很可行，只不过点背遇到开挂的天罚暴君，逃不了炮灰的命。而Alpha小队和僵尸们做巷战就很不明智，没有地形优势就只能凭弹药，火力没了就只能被咬死，哎……
另一个病毒式扩散的攻击方式是《高达00》剧场版中的外星金属，其攻击原理其实和T病毒类似。不过，他们的主体是近战攻击，变化后可以远攻，但只有在近战接触成功后才具有病毒传播特性。因此它们比T病毒多了变化后的远攻这一模式。就对战来说，除了擅长近战的主角机，另外三台都适合远攻——狙击的洛克昂就不说，能开胸炮的伪娘也是远战机，每次都携带重武器撒炸弹的双子人除了那个传说的秘密武器钳子是近战的，平时都表现得和远攻一样。所以主角一出击就被精神污染了，没办法。
当然，必须要说明的是，战斗方程的成立基础是统计，所以上述单兵啊七人剑阵啊其实根本都不能用这套方法来分析，写出来只是博大家一笑。
实际世界中，运用这套方法来分析的也多是成百上千人的战斗，没人拿这套理论去算兰博的战斗力，或者施瓦辛格与史泰龙的敢死队的战斗力。
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