Stochastic Analysis Notes: Ch1 Option

Ch1 期权基本概念

1 变量

随机变量

$X: \Omega \to R \quad {\omega: X(\omega) \le x}$

$X(t, \omega)$ 固定 $\omega$ ,看 $t$ :样本路径

$f(t, S_t)$ 依赖于underlying asset的函数

$S_T$ 是T确定的 $r.v.$

一般情况： $X$ 中： $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布(iid)

现在研究： $X_t$ Stochastic Process

$X_{t_o}(\omega) \quad r.v.$
$\omega_0$ 固定， $X_t(\omega_0)$ 是一个不能重复观测的样本路径

随机分析

金融衍生品的定价问题。主要为option

2 种类

期权种类：

[1]按行权时间

European 最右边的一个点
Bermuda 期权时间内几个坐标点
American 一条期权时间加上最右边那个点

[2]按是否依赖路径

Vanilla: Call( $(S_t-K)_+$ )/Put $(K-S_t)_+$
Exotic:依赖路径 e.g.回望期权

3 收益/净收益

变量： $S_t \;\, (s.p). , K, T$ strike price, expiration date

Call Option

Long: $(S_T-K) \vee 0$

Payoff收益： $(S_T-K)_+$

Profit净收益： $(S_T-K)_+ - Premium$ (暂时不考虑 $r$ )

==[pic: long-call]== ==[pic: short-call]==

Put Option

Long: $(K-S_T) \vee 0$

Payoff收益： $(K-S_T)_+$

Profit净收益： $(K-S_T)_+ - Premium$ (暂时不考虑 $r$ )

==[pic: long-put]== ==[pic: short-put]==

[注1]

$x \vee y= max\{x,y\} \quad x \wedge y=min\{x,y\}$

[注2]

空头全都在赚保费Premium（平台在x轴的上方），在short call的时候损失还无限大.

看涨看跌：三角形位置

多头空头：保费位置

[注3]

如果考虑利率：

Premium $\to$ Premium + interest

理解：本来用来买期权的钱，还可以存在银行（还损失了时间价值）。

4 实值/平值/虚值

| | Call | Put |

| --- | --- | --- |

| in the money | $S_0>K$ | $S_0<K$ |

| at the money | $S_0=K$ | $S_0=K$ |

| out of the money | $S_0<K$ | $S_0>K$ |

5 交易策略：保险策略

公式：

$x_+=x\vee 0$

$x_-=(-x)\vee 0=(-x)_+$

$x=x_+ - x_-=x_+ - (-x)_+$ (分 $x \ge 0$ 和 $x< 0$ 讨论可以得证) 我们按照正号的来

[1] Floor $S_t+P$

Payoff $S_T+(K-S_T)_{+}$

$=S_T+(K-S_T)+(S_T-K)_{+}$

$=K+(S_T-K)_{+}$ 相当于：无风险资产+看涨(K+C)

或者：

$S_T \ge K$ 不行权 $S_T$

$S_T < K$ 行权 $K$

也就是： $max(K, S_T)$

==pic-floor== ( __/ )

[2] Covered Call Writing $S_t-C$

Payoff $S_T-(S_T-K)_+$

$=S_T-((S_T-K)+(K-S_T)_+)$

$=S_T-(S_T-K)-(K-S_T)_+$

$=K -(S_T-K)_+$ 相当于：无风险资产-看跌(K-P)

或者：

$S_T \ge K$ 不行权 $K$

$S_T < K$ 行权 $S_T$

也就是： $min(K, S_T)$

==pic-covered call writing== ( / “”)

[3] Cap $- S_t+C$

Payoff $- S_T+(S_T-K)_{+}$

$-S_T+(S_T-K)+(K-S_T)_{+}$

$-K+(K-S_T)_{+}$ -无风险+看跌(-K+P)

或者：

$S_T \ge K$ 行权 $-K$

$S_T < K$ 不行权 $-S_T$

也就是： $max(-K, -S_T)$

==pic-cap== ( \_ )

[4] Covered Put Writing $- S_t-P$

Payoff $- S_T-(K-S_T)_{+}$

$-S_T-(K-S_T)-(S_T-K)_{+}$

$-K-(S_T-K)_{+}$ 相当于：-无风险-看涨(-K-C)

或者：

$S_T \ge K$ 不行权 $-S_T$

$S_T < K$ 不行权 $-K$

也就是： $min(-K, -S_T)$

==pic-covered put writing== (‘’’\)

6 交易策略：投机策略

设定 $K_1<K_2$

[1] spread 价差（减小损失，以拉平大收益为代价）

Bull Spread 赌上涨 $C(K_1)-C(K_2)$ ( $K_2>K_1 \to C(K_2)<C(K_1)$ )

== pic bull spread ==看涨的端高后面弄平

Bear Spread 赌下跌 $P(K_2)-P(K_1)$ ( $K_2>K_1 \to P(K_2)>P(K_1)$ )

== pic bear spread ==看涨的端高前面弄平

[2] collar 领子（有一个平台） $P(K_1)-C(K_2)$

领子的宽度：执行价格之差

==pic collar==\__和‘’‘\交叉

[3] straddle 马鞍式：平值看涨+平值看跌(执行价格相同) $C(K)+P(K)$

==pic straddle==赌大波动

[4] strangle 宽胯式价外看涨+价外看跌 $C(K_2)+P(K_1)$

==pic strangle==以小成本赌大波动

[5] butterfly -马鞍+宽胯，可以又3～4个期权组成

==pic butterfly==赌波动不大

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