所谓求动态第K大是支持查询区间第k大,同时还支持序列的单点修改。
我们知道,如果修改了arr[i],那么对于静态主席树来说,它影响的是tree[i],tree[i+1]...tree[n];有一个办法是对这些树全部进行更新,但是这样的复杂度会很高;同时,我们注意到,有一个很适合单点更改和求序列和的数据结构,那就是树状数组,;所以我们可以这样做:对于原序列,我们建立静态主席树,对于要修改的节点,我们用树状数组来维护,每个树状数组的节点都是线段树。
比如原序列:1 5 6 2 3 9 8,现在我要把第四位2改为7,理论上说,我们修改一个数字,首先要消除原数字对序列的影响,再添加新的数,然后再产生新的影响;现在2对序列的影响是:第四位以及到最后一位的对应的所有前缀树,每个前缀树中包含2的区间对应的节点与原来比都加上了1,要消除这些影响,我们要对4-n颗前缀树的所有包含2的区间的节点都要减去1,然后再把第四位改为7,再对第4-n颗前缀树的所有包含7的区间的节点都要加上1,到此,更新就结束了。
只不过,我们修改的时候是利用树状数组,所以修改的树不再是4-n颗树,而是x1=4,x2=4+lowbit(x1),x3=x2+lowbit(x2)....n颗树,对修改的次数为原来的log2n,同时空间复杂度也减少了
其实动态主席树的空间消耗还是很大的，比如上次修改了序列的第i位或者修改某位沿着lowbit上升时经过了第i位，那么修改的时候是会对i重新建树的,用新的树代替了原来的树,大概原理就是这样。修改的次数越多,新建的树越多,消耗空间越多。
当然了,用数组开的静态区间消耗的空间是固定的,但是它的剩余空间会随着修改的增加越来越少。
Dynamic Rankings
题意:
给你一个长度为n(1 <= N <= 50,000)的序列。序列中每个值都不超过1e9.然后有m(1 <= M <= 10,000)次操作。
1.Q i j k 询问i,j间第k大的值。
2.C i val 把序列的第i个值改成val。
#include<cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 60010;
int n,m,tot,cnt,idx;
int arr[MAXN], cpy[MAXN];//原序列
//root为静态主席树的根节点
int root[MAXN], lson[MAXN*40], rson[MAXN*40],sum[MAXN*40];
//S为动态主席树的根节点,use是用来存储更新时,沿着lowbit上升时经过的树
int S[MAXN],use[MAXN];
int build(int l,int r)
{
int rt = tot++;
sum[rt] = 0;
if(l != r)
{
int mid = (l+r)>>1;
lson[rt] = build(l,mid);
rson[rt] = build(mid+1,r);
}
return rt;
}
//以last这棵树为参照,新建一棵树,即新建的树有一部分节点共用last这棵树
int update(int last,int pos,int val)
{
int rt = tot++, tmp = rt;
int l = 0, r = cnt-1;
sum[rt] = sum[last] + val;
while(l < r)
{
int mid = (l+r)>>1;
if(pos <= mid)
{
lson[rt] = tot++; rson[rt] = rson[last];
rt = lson[rt]; last = lson[last];
r = mid;
}
else
{
rson[rt] = tot++; lson[rt] = lson[last];
rt = rson[rt]; last = rson[last];
l = mid+1;
}
sum[rt] = sum[last] + val;
}
return tmp;
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void add(int x,int pos,int val)
{
while(x <= n)
{
S[x] = update(S[x],pos,val);
x += lowbit(x);
}
}
int getSum(int x)
{
int ret = 0;
while(x > 0)
{
ret += sum[lson[use[x]]];
x -= lowbit(x);
}
return ret;
}
int query(int left,int right,int k)
{
int left_root = root[left-1];
int right_root = root[right];
int l = 0, r = cnt-1;
for(int i = left-1;i;i -= lowbit(i)) use[i] = S[i];
for(int i = right;i ;i -= lowbit(i)) use[i] = S[i];
while(l < r)
{
int mid = (l+r)>>1;
int tmp = getSum(right) - getSum(left-1) + sum[lson[right_root]] - sum[lson[left_root]];
if(tmp >= k)
{
r = mid;
for(int i = left-1; i ;i -= lowbit(i))
use[i] = lson[use[i]];
for(int i = right; i; i -= lowbit(i))
use[i] = lson[use[i]];
left_root = lson[left_root];
right_root = lson[right_root];
}
else
{
l = mid+1;
k -= tmp;
for(int i = left-1; i;i -= lowbit(i))
use[i] = rson[use[i]];
for(int i = right;i ;i -= lowbit(i))
use[i] = rson[use[i]];
left_root = rson[left_root];
right_root = rson[right_root];
}
}
return l;
}
int getId(int x)
{
return lower_bound(cpy,cpy+cnt,x)-cpy;
}
struct Node
{
int kind;
int l,r,k;
}que[10010];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
tot = 0;
cnt = idx =0;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
scanf("%d",&arr[i]);
cpy[idx++] = arr[i];
}
char op[10];
//至于为什么要先把所有的修改的节点找出来,才进行建树,那是因为只有知道序列的范围才可以建树,无他
for(int i = 0;i < m;i++)
{
scanf("%s",op);
if(op[0] == 'Q')
{
que[i].kind = 0;
scanf("%d%d%d",&que[i].l,&que[i].r,&que[i].k);
}
else
{
que[i].kind = 1;
scanf("%d%d",&que[i].l,&que[i].r);
cpy[idx++] = que[i].r;
}
}
sort(cpy,cpy+idx);
cnt = unique(cpy,cpy+idx) - cpy;//离散化
root[0] = build(0,cnt-1);//建立空树
for(int i = 1;i <= n;i++)
root[i] = update(root[i-1],getId(arr[i]),1);//建立静态主席树
for(int i = 1;i <= n;i++)
S[i] = root[0];//为每个树状数组根节点初始化
for(int i = 0;i < m;i++)
{
if(que[i].kind == 0)
printf("%d\n",cpy[query(que[i].l,que[i].r,que[i].k)]);
else
{
add(que[i].l,getId(arr[que[i].l]),-1);//先消除影响
add(que[i].l,getId(que[i].r),1);//再新建影响
arr[que[i].l] = que[i].r;
}
}
}
return 0;
}
