哲学家与数学家     课程分享24

       这是通识选修课《社会科学与数学》第一讲《哲学与数学》的第二节。介绍了几位历史上重要的哲学家兼数学家。

苏格拉底

第一讲哲学与数学

二、历史与人物

       西方哲学与数学有着深厚的渊源。在西方，哲学号称自然科学之母，是“科学之科学”，至今大多数学科（不论是理科，工科，医科，还是法学等等）最高学历都是PhD（拉丁文Philosophiae Doctor的缩写，意为哲学博士）。正如罗素在《西方哲学史》中所说：“哲学介乎于神学与科学之间。它和神学一样，包含着人类对于那些迄今仍为确切的知识所不能肯定的事物的思考；但是它又像科学一样是诉之于人类的理性，而不是像神学一样诉之于权威。”

       18世纪以前，以寻根问底为己任的哲学家，将包括科学在内的整个人类知识当作他们的领域，而数学由于其自身高度理性的特点，使得它自身和哲学的关系更加密切。和其他科学不一样，数学是先验的，是由纯粹理性思维得到的，它不需要观测，只要一个公理体系建立起来了，在这个体系内我们就可以导出许多结论，而不需要任何的外界帮助，而纵观其他的科学，无一例外的都有观测和试验的环节。

       此外数学是建立在严格的推理和证明的基础上的，只要一个定理一旦被严格证明了，它就将永远存在于数学的知识宝库当中，例如我们今天在初中所学的几何学的几乎所有内容在2000多年前的欧几里德时代就已经完全建立起来了，而反观其他科学，比如物理学，在相对论出现之后，牛顿力学的计算结果只能充当在物体在低速状态下的近似，而并不是精确的结果，现在的物理学家也无法保证相对论和量子力学是不是对某种我们尚不知道的更一般的理论的近似。

       很大程度上由于以上原因，历史上伟大的哲学家，特别是康德以前的哲学家，往往是伟大的数学家（但中国不是这样），或者说和数学有很深的渊源（反过来说其实也正确）。西方哲学的鼻祖，同时也是被尊为科学之父（哲学之父、数学之父）的Thales所领导的爱奥尼亚学派开创了希腊命题证明的先河。

1、泰勒斯

       泰勒斯(Thales,约公元前640年)，生于小亚细亚(今属土耳其)的爱奥尼亚西岸的米利都城的一个奴隶主贵族家庭，从小受过良好的教育．他是在数学史上留名的第一人，古希腊第一个闻名世界的大数学家，被公认为希腊几何学的创造人和希腊“七贤”之首．他多才多艺，对古希腊的天文学和哲学等许多方面，也作出过开拓性的贡献。

       希腊七贤又称“古希腊七贤”，是指古希腊人所说的七个最有智慧的人。此说法有不同版本。 

【版本一】：普林纳（小亚细亚）的拜阿斯(Biass，也译为毕阿斯)，斯巴达的奇伦(Chilon，也译为开伦)，林都斯（罗得岛）的克利奥布拉斯(Kleoboulos，也译为克莱俄布卢)，科林斯的拍立安得(Periandros，也译为佩里安德)，密提利那（列斯保岛）的庇达卡斯(Pittakos，也译为庇塔库斯)，雅典的梭伦和米利都的泰勒斯。

【版本二】：泰勒斯、毕达格拉斯、苏格拉底、柏拉图、亚里斯多德、欧几里得、阿基米德。

       版本一流传较广，版本二的人物更出名。但两个版本中唯一重复出现的人是泰勒斯。

2、毕达哥拉斯

       在古希腊哲学中代表神秘主义思潮的毕达哥拉斯在数学史上同样具有崇高的地位，在西方毕达哥拉斯首次严格证明了直角三角形弦的平方等于其余两边的平方和，这也就是为什么一直到现在，西方的教科书中把中国人称为“勾股定理”的上述命题叫做“毕达哥拉斯定理”。

毕达哥拉斯

3、霍布斯

      某个人的一生因为勾股定理而改变，这个人便是伟大的政治哲学家霍布斯（Thomas Hobbes）。40岁之前，霍布斯是一位有天分却少有创见的学者。他精通人文，却觉得自己不够博学。他最重要的成就是翻译古希腊史学家修昔底德（Thucydides）的著作，文字优美，却偶有错误。他在科学界相当低调，尽管当时刻卜勒（Johannes Kepler）、伽利略和其它科学家纷纷发表令人振奋的突破性发现，颠覆了科学界。

       一天，经过友人的书房时，霍布斯看见桌上放着一本欧几里得（Euclid）所写的《几何原本》（Elements）。这种情形没什么稀奇，一位拥有如《圣经》这类精致的昂贵重要藏书的绅士，不会把书束之高阁，而是显眼地展示给访客看，通常会翻开到一段著名的篇章或一首著名的赞美诗。

       欧几里得的《几何原本》的确就像《圣经》。这本书以公理（axiom）和公设（postulate），阐明了许多当时的数学智能；自从这本书在约公元前300年出版后，学者便开始分析这部著作；书中的知识至今依然适用。除了《圣经》之外，当时没有其它著作像《几何原本》一样，不断再版或一再被研读。霍布斯那天看到的详细确切章节是：第一卷，命题47，勾股定理。

       霍布斯看了一下那项声称：一直角三角形斜边上的正方形面积，等于另两边上的正方形面积之和。他大为震惊，甚至口出秽言，他的友人，也是第一位为他作传的奥布雷（John Aubrey），不愿拼写出这个字。“他XX，……”霍布斯咒骂道：“这是不可能的！” 好奇的霍布斯继续读下去。论证的过程把他导引到书中其它命题：命题46、14、4和41。这些命题又导引出其它命题。霍布斯看完这些命题，很快确信这项令人震惊的定理是真的。

       “从此他爱上了几何学。”奥布雷写道。还说霍布斯自此变了一个人，他开始着魔似地在他的床单、甚至大腿上，画下几何图形，写出计算。他开始投入所有精力研究数学，而他也有那么一点天分，虽然仍旧能力平庸，而且让自己陷入具争议又毫无希望的长期数学研究，为霍布斯作传的作者和支持者至今都觉得困窘。这些故事并不特别引人入胜。重要的是，这项定理改变了霍布斯本人和他的学术生涯。正如一位评论者对霍布斯初遇勾股定理的描述：“因为这次发现，过去他所思所写的一切都被改正。”

       霍布斯开始指责当时的道德和政治哲学家不够严谨，对先哲却景仰不已。他不公平地拿那些学者来与数学家做比较，认为数学家从人人都理解和接受的“低下而谦卑的原则”开始，缓慢却笃定地开展数学原理。霍布斯开始在著作中以类似数学家的方式重新建构政治哲学，首先厘清术语的定义，然后以一种有次序的方式说明其中的意涵，例如《巨灵论》（Leviathan）一书便是如此。勾股定理教导他一种新的说理方式，让他以看来必然且放诸四海皆准的作法，有说服力地表达他的推论成果。

       托马斯·霍布斯（Hobbes，Thomas）(1588-1679)，英国政治家、思想家、哲学家。他创立了机械唯物主义的完整体系，认为宇宙是所有机械地运动着的广延物体的总和。他认为几何学和力学是科学思维的理想楷模。

霍布斯

4、柏拉图

       柏拉图在其创立的学院中讲授数学（包括算术、几何）和哲学，而且据说在学院的门上有这么一句话：“不谙几何者不得入内。” 普罗克鲁斯（Proclus Diadochus）将分析法和归谬法归功于柏拉图，此外柏拉图还给出了许多几何定义，并坚持使用演绎的方法对数学知识进行整理。

       柏拉图（Plato，Πλάτων， 约前427年－前347年），古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。另有其他概念包括：柏拉图主义、柏拉图式爱情、经济学图表等含义。

柏拉图

5、亚里士多德

        作为多门科学的开山鼻祖，百科全书式的亚里士多德极大的完善和发展了老师柏拉图的思想，亚里士多德对数学的最大贡献是将前人使用的数学推理规范化和系统化，从而创立了独立的逻辑学，其中的基本逻辑原理矛盾律（一个命题不能既真又假）和排中律（一个命题真假必居其一）成为数学当中反正法的核心，同时也为当时的欧几里德演绎几何体系奠定了基础。

      亚里士多德（前384—前322年），古希腊斯吉塔拉人，世界古代史上最伟大的哲学家、科学家和教育家之一。是柏拉图的学生，亚历山大的老师。公元前335年，他在雅典办了一所叫吕克昂的学校，被称为逍遥学派。

亚里士多德

       中世纪的经院哲学的学者也尝试着通过模仿数学中证明，用逻辑来严格证明基督教中的一系列命题。比如托马斯·阿奎那（Thomas Aquinas）在Summa Theologica一书中这样论证”it was fitting for Jesus to be poor”："The bible says that God always does the right thing, but Jesus was God, and he was poor, so it must have been the right thing."

       一件很有趣的事是被称为经院哲学的创始者的安瑟伦（Saint Anselm of Canterbury）有一个关于上帝存在性的证明：“God, by definition, is that than which a greater cannot be thought. God exists in the understanding. If God exists in the understanding, we could imagine Him to be greater by existing in reality. Therefore, God must exist.” 后来莱布尼兹对这个证明加以改进，到了1970年代，处于晚年的哥德尔给出了一个十分数学化的证明。

       我曾经的学生何泽华在他的毕业论文《基督教中的数学方法研究》中，用数理逻辑的方法表述了上述证明。

∀M(x)→C（x)    前提；T（1）；凡是有秩序事必先经过设计；

∀C(x)→P（x)    前提；T（2）；只有能思考的存在者才会设计；

M（w)            前提；T（3）；这世界是如此地有秩序；

M（w)→∃C(w)    T（1）T（3）推理；T（4）；世界是被设计出来的；

┐Q(r)           前提；T（5）；世界不是任何一个人所能设计出来的；

C（w)→∃P(x∧┐r)    

T（2）T（4）T（5）推理；T（6）；必定有超越人的思想存在；

∃P(g)           前提；T（7）；定义神是超越人的能思想之灵体；

∃g              T（5）T（6）T（7）；推理；T（8）；上帝存在，证毕。

6、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、希尔伯特、罗素等

       文艺复兴中的很多哲学家都是数学家。比如被认为是近代哲学的始祖法国哲学家笛卡尔，提出了著名的唯理前提“我思，故我在”。在数学上，笛卡尔将代数的方法引入几何，首创坐标系这一划时代的概念，为数学的发展开辟了新天地，几何与代数两个领域开始交融，在后世产生了一系列重要的成果（比如算术代数几何这一门数学分支，广泛运用到当前最尖端的信息加密技术当中）。

       勒奈·笛卡尔（Rene Descartes）,1596年3月31日生于法国都兰城。笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。

笛卡尔

       提出了单子论的莱布尼兹毫无疑问也是一位伟大的数学家，他先于牛顿发明微积分的（但是牛顿利用他在皇家学会的地位对莱布尼兹进行种种无端指责，使得莱布尼兹最终在抑郁中去世），莱布尼兹在所发明的微积分的符号一直沿用到今天。莱布尼兹有一句很著名的话：“世界上没有两片相同的叶子。”

       艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643年1月4日—1727年3月31日）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。

牛顿

       戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日～1716年11月14日）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。

莱布尼茨

       哲学家对于数学家也会产生很深的影响。20世纪初期最伟大的数学家，同时也是最后几个真正的数学家（20世纪下半页的数学家不能称为真正的数学家，因为他们再也无法同时掌握多个数学分支，因此他们只能被称为代数学家、几何学家……）之一希尔伯特（David Hilbert）面对数学基础的第三次危机——集合论的相容性（即要防止罗素悖论这一类问题在集合论中出现。前两次数学基础的危机分别是古希腊发现无理数带来的危机以及17-18世纪关于微积分基础的争论）提出的所谓的形式主义（formalist）的解决方法深受康德哲学的影响。

       希尔伯特1862年出生在康德的家乡哥尼格斯堡（Königsberg，即今天俄罗斯的加里宁格勒），自小耳濡目染，加上在学校的学习，使得康德的哲学思想在希尔伯特的脑中烙下了深深的印记。

希尔伯特

       数学中的概念分为有限与无限，现实当中只存在有限，有限是能够感知的，因此我们对于数学中有限情况下的结论可以完全放心，可是无穷不存在于现实当中的（宇宙也不是人们想象的是一个无穷大的空间，现代物理学认为宇宙有限无界，正像地球的表面，它是一个二维的有限的表面，但是它是无界的，如果一个人在上面作二维运动，他是永远也找不到边界的，只不过宇宙可能是一个四维的超球面）。

       集合论的相容性便产生于数学中无穷的概念，即无穷这个概念的引入使得集合论中产生了悖论（比如著名罗素悖论）。但是为了保住古典数学中非常优美而又非常有力的工具，我们不能放弃无穷这一个重要概念。

        于是为了解决这一问题，希尔伯特提出了一个主张：有限情况下的数学是可以感知的，因此是正确且有意义的，无穷是无意义的，但是把无穷的概念引入到有限情况下的数学中可以使结论更加优美或者使得证明能够更顺利地进行下去。

       比如说在射影几何当中“几乎每一对直线都交于一点，平行线除外”，但是引入了无穷的概念之后，由于平行线相交于无穷，因此定理变得十分简洁：“所有直线都必定交于一点”。希尔伯特希望能证明在数学中引入无限的地方能够不出现错误。虽然1930年代哥德尔的不完备性定理使得希尔伯特的希望落空，但是希尔伯特所领导的形式主义学派在基础问题上积累的成果极大的促进了数理逻辑的发展。

       到了近代，科学的飞速发展使得科学高度技术型和数学化，哲学家再也无法像以往的哲学家那样掌握科学领域的高深理论。但是从另一个方面讲，逻辑是哲学研究中是一个核心问题，而面对数学基础的第三次危机发展起来的数理逻辑使得数学与哲学的关系发展到了另一个更加微妙的阶段。

       20世纪哲学领域的一个重要特点是众多的哲学家都是从数学入手开始其学术生涯的。弗雷格（Gottlob Frege）和罗素（Bertrand Russell）是分析哲学的发起人，两人共同确立了数理逻辑的基础。弗雷格首先将命题逻辑公理化，并提出了谓词逻辑，而罗素在弗雷格的影响下，与怀特海德（Alfred North Whitehead）一同撰写了三大卷《Principia Mathematica》。在这部书中，两人提出“数学即是逻辑”——所有数学定理都可以从一些公理出发，通过一系列逻辑运算得出来。

       20世纪两位著名的哲学家维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）和胡塞尔（Edmund Husserl）也深受弗雷格的影响。维特根斯坦最早学习的是工程，后来在曼彻斯特大学攻读工学博士期间对数学的基础产生了兴趣，于是来到德国向弗雷格求教。弗雷格则把他推荐给罗素，因为罗素此时已经发现了弗雷格理论中的矛盾。

       维特根斯坦在罗素的指导下系统的学习了数理逻辑，最终在1921年出版了《Tractatus Logico-Philosophicus》一书，这是维特根斯坦在世时出版的唯一一本著作，而这本书成为人工语言学派的扛鼎之作。人工语言学派认为日常语言有严重缺陷，模糊性或者掩盖了语言本身的逻辑形式，哲学的任务是消除这种模糊现象，必要时可以用人工语言代替日常语言。

维特根斯坦

       现象学的创始人胡塞尔最初在莱比锡大学学习数学，随后到柏林大学师从著名数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）和克罗耐克（Leopold Kronecker），1883年胡塞尔获得了数学博士学位并且成为魏尔斯特拉斯的私人助手并且“从他那里获得了科学追求的伦理思想”。有人写评论，总结了数学对于胡塞尔的影响：“数学所要求的明晰性和精确性也始终影响着胡塞尔。胡塞尔把建立一门作为严格科学的哲学，从而为其它一切科学奠定一个坚实的基础，作为其终其一生所追求的目标。……就此而言，我们可以说胡塞尔的现象学仍属于近代西方哲学的传统，而胡塞尔则可能是现代西方哲学家中最后一位传统意义上的‘纯粹哲学家’，盖因在他之后的现代西方哲学家们，几乎没有人像他那样把哲学当成一门严格科学去追求，也没有哪个哲学家再去探寻一种绝对的、永恒不变的基础；相反，他们试图把哲学排除在科学之外，同时去消解作为一切科学的基础。也许，正因为这一点，胡塞尔及其现象学更显其在哲学史上的重要性。”

胡塞尔