一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.
问这4块砝码碎片各重多少?
1)首先把具体问题抽象成数学语言,可以叙述为:
已知一个k项的自然数列a,通过对各项进行加减运算,可以表示个数最多的连续自然数1,2,…,S中的任意一个。
2)用归纳法进行分析问题;
(i)当k=1时,则取a1=1,S=1;
所以取a1=1,可以表示自然数1
(ii)当k=2时,取a1=1,讨论a2取值:
已知a2>a1,则a2可以取2,3,4…..
当a2=2时,可以表示1,2,3(2+1)
当a2=3时,可以表示1,2(3-1),3,4(1+3)
当a2=4时,无法表示出2
所以取a1=1,a2=3,可以表示1---4之间的连续自然数
(iii)当k=3时,取a1=1,a2=3,讨论a3取值:
已知a3>a2,则a3可以取4,5,6…..
这里分析一下之前的两种情况,可以发现,加入a3之后,首先要能表示出5,其次要想尽可能表示更多数,a3就要尽可能的大,所以5就应该是通过减法而不是加法得到的。
则可以写出a3—4=5,则a3=9
经验证,满足题目要求,当a3>=10的时候,不能表示出5
所以取a1=1,a2=3,a3=9,可以表示1--13之间的连续自然数
(iv)当k=4时,取a1=1,a2=3,a3=9,讨论a4取值:
根据在(iii)里推断出方法,a4-13=14,则a4=27
所以取a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,可以表示1—40之间的连续自然数
(v)所以通过归纳法,这样的计算还可以继续推广下去
3)这样就得到了四块砝码的重量为1磅,3磅,9磅,27磅。