2022年四月第38本书

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1、本书主题：线性代数介绍

2、速读建议：阅读定义、定理、性质和推论部分，证明可以先略过。

有网友将本书与可汗学院的教学视频进行对比，不在一个层面上。

有条件的话，确实更推荐可汗学院那样的教程。

本书为应试准备的，备考够用，可读性确实有瑕疵。

◆ 第一章 线性方程组与矩阵

>> 必须注意：只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（右边的矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘．

>> （1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA；（2）尽管矩阵A与B满足AB=O，但是得不出A=O或B=O的结论．

>> n阶方阵A如果满足AT=A，则称A为对称矩阵，如果满足AT=-A，则称A为反对称矩阵．

◆ 第三节 线性方程组与矩阵的初等变换

>> 定义1　下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

（1）交换矩阵的某两行，我们用ri↔rj表示交换矩阵的第i、j两行；

（2）矩阵的某一行乘以非零数，用kri表示矩阵的第i行元素乘以非零数k；

（3）将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用rj+kri表示将矩阵第i行的k倍加到第j行．

>> （1）任意一个m×n矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；（2）任意一个m×n矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；

>> 若矩阵A经过有限次初等行（列）变换化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B行（列）等价；若矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价．

>> 消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组的增广矩阵做初等行变换，将原方程组的增广矩阵先化为行阶梯形矩阵，然后再化为行最简形矩阵的过程．而增广矩阵的行最简形矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的．

◆ 第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵

>> 设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵．

◆ 第二章 方阵的行列式

>> 逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列．

>> 只交换排列中某两个数的位置，其他的数保持不动而得到一个新排列的变换，称为一个对换．

>> 无论上三角方阵还是下三角方阵，其行列式的值都等于其主对角线上n个元素的乘积，而与其他位置的非零元素没有关系．

◆ 第二节 行列式的性质

>> 若行列式中有两行（或两列）对应元素相等，则行列式等于零．

>> 设A、B是两个n阶方阵，则|AB|=|A|·|B|．

◆ 第三节 行列式按行（列）展开

>> 其中记号“∏”表示连乘积．

◆ 第四节 矩阵求逆公式与克莱姆法则

>> （Cramer（克莱姆）法则）：如果线性方程组Ax=β的系数行列式不等于零，即|A|≠0，则方程组有唯一解

>> 如果齐次线性方程组Ax=0有非零解，则它的系数行列式必等于零，即|A|=0.

◆ 第二节 向量组的线性相关性

>> 怎样判断线性方程组中是否有多余方程呢？

>> 向量组α1，α2，…，αm（m≥2）线性相关的充分必要条件是存在某一个向量αj（1≤j≤m）可由其余向量线性表示．

>> 若部分组B线性相关，则向量组A也线性相关．

>> 若向量组A线性无关，则其部分组B也线性无关．

◆ 第三节 向量组的秩与矩阵的秩

>> 向量组A中任一向量都可由它的极大无关组线性表示．

>> 向量组A的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为RA.

>> 可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵．

>> 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A～B，则R（A）=R（B）．

>> 矩阵的行向量组的秩与它的列向量组的秩相等，都等于矩阵的秩．

>> 将增广矩阵的行向量组的极大无关组找到后，不属于极大无关组的行向量所对应的方程就是多余方程．

◆ 第四节 线性方程组解的结构

>> 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R（A）=R（A，B）．

>> 设m×n矩阵A的秩R（A）=r<n，则n元齐次线性方程组Ax=0一定有基础解系，并且基础解系中所含向量的个数为n-r，从而解集S的秩RS=n-r．

◆ 第五节 向量空间

>> 设V是n维向量的集合，且V非空，如果V对向量的加法和数乘两种运算都封闭，则称集合V为向量空间．

>> 如果α1，α2，…，αr是向量空间V的一个基，则V中任一向量β均可以由α1，α2，…，αr唯一线性表示．

>> 如果α1，α2，…，αr是向量空间V的一个基，则V中任一向量β可唯一线性表示为β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr，则称常数λ1，λ2，…，λr为向量β在基α1，α2，…，αr下的坐标．

◆ 第四章 相似矩阵及二次型

>> ［x，y］=xTy=x1y1+x2y2+…+xnyn，称［x，y］为向量x与y的内积．

>> 称‖x‖为向量x的长度（或范数）．

>> 当［x，y］=0时，称向量x与y正交．

>> 若n维向量组α1，α2，…，αm是一个正交向量组，则α1，α2，…，αm线性无关．

>> 设α1，α2，…，αr是向量空间V的一个基，从基α1，α2，…，αr出发，找一组两两正交的单位向量ξ1，ξ2，…，ξr，使ξ1，ξ2，…，ξr与α1，α2，…，αr等价，这个过程称为把基α1，α2，…，αr规范正交化．

◆ 第二节 方阵的特征值与特征向量

>> 对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素．

>> 设n阶矩阵A=（aij）的特征值为λ1，λ2，…，λn，则（1）λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann；（2）λ1λ2…λn=|A|．

>> n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零．

◆ 第三节 相似矩阵

>> 对于n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使得Λ=P-1AP为对角阵，称为把矩阵A相似对角化．

>> n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量．

◆ 第四节 实对称矩阵的相似对角化

>> 设λ1，λ2是对称阵A的两个特征值，p1，p2是对应的两个特征向量．若λ1≠λ2，则p1与p2正交．

◆ 第五节 二次型及其标准形

>> 任给一个二次型，就唯一地确定一个对称阵；反之，任给一个对称阵，也可唯一地确定一个二次型．

>> 我们把对称阵A叫做二次型f（x）=xTAx的矩阵，也把f（x）=xTAx叫做对称阵A的二次型．对称阵A的秩就叫做二次型f（x）=xTAx的秩．显然，标准形的矩阵是对角阵．

◆ 第五章 线性空间与线性变换

>> 线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量．