排列组合的定义

• 排列的定义：从n个不同元素中，任意取m个元素，m≤n且m和n都是自然数，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
  从n个不同元素中，取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用A（n，m）表示。
• 组合的定义：从n个不同元素中，任意取m个元素，m≤n且m和n都是自然数，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
  从n个不同元素中，取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用C（n，m）表示。
• 规定当n=m时，0！=1，这个规定是用来解释当C（3，3）这种情况n=m时，分母出现0！=1就可以计算了。
• 排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

排列组合是解决问题的一种思考工具

• 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
  1.认真审题弄清要做什么事
  2确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.）“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
  3复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化,解答完需要检验。
  4处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
  总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

常用的方法技巧

一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。
三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．
五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．
六.逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。构造模型 “隔板法”： 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题排除法。

难点在于对特定模型的掌握和限制条件的区分

⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
⑵限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；
⑶计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
⑷计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

典型题目汇总

• 10名成绩优异者抽取3名代表学校参加市数学竞赛，有几种组合方式？
• 我们假设一副扑克中抽出5张牌放在桌子，问有多少种组合方式？
• 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？
• 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从左下角到右上角有多少种不同的走法?
• 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？
• 身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比第二行的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为
• 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
• 停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?
• 对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
• 福利彩票30选7，小刘以胆，3，10，17，16，以7，9，18，23为拖买彩票，花多少钱。一注2元，买以上胆拖的复式有多少钱
• 公路一青蛙，跳一下1米，往后跳一下也是1米，动了5次，进了3米。不同的跳法？
• 学校12名女生，4人一组有
• 甲乙丙丁四人传球，第一次由甲传给其余三人中任意一人，第二次由拿球人再传其余三人中一人，传4次球后，第4次仍传给甲的方法有多少？
• 有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)
• 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个
• 在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？
• 在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
• 现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
• 六人站成一排，求
  ⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数
  ⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
• 对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
• 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．
• 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
• 8人排成一队
  ⑴甲乙必须相邻
  ⑵甲乙不相邻
  ⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻
  ⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
  ⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻
• 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
• 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
• 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
• 正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
• 1，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?
• 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
• 5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
• 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
• 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
• 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
  ⑴可组成多少个不同的四位数?
  ⑵可组成多少个不同的四位偶数
  ⑶可组成多少个能被3整除的四位数?
• 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有多少种？
• 某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如右图）
  ⑴图中共有多少个矩形？
  ⑵从A点到B点最近的走法有多少种？
• 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同，有多少种填法？

答案

下一次再发


典型题目汇总

• 10名成绩优异者抽取3名代表学校参加市数学竞赛，有几种组合方式？
  C（10，3）种。按照定义，选出3个人排成一列有1098中方法，但由于组合不考虑顺序，题目中元素之间是没有区别的，排列数重复了3！次【甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙】，这是由选择的人数排列决定重复多少次的，因此需要除以这个数。

• 我们假设一副扑克中抽出5张牌放在桌子，问有多少种组合方式？
  这里考虑的就是组合，没有排列。如果这5张牌已经选出来，那么有多少种排列方法呢？5！个方法。但是组合不需要排列数，只要选出这5张的就可以算是一个组合了。所以在确定任意5张牌的时候是分步，把每一个位置都选好，才能选出5张，这是分步骤完成，一共有5251504948种排列，这是因为考虑了次序，必然重复选了相同的5张牌，那重复了多少次呢？就是这5个位置的排列数。除以它就得到了5张牌的组合数。

• 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？
  这是一个隐含排列组合的问题。先转化为排列组合的模型。什么是等差数列？满足b-a=c-b的数列就是等差数列。得到2b=a+c，a和c同奇数或者同偶数，因为2b是偶数，两数之和要得到偶数，两数必然同奇数或者同偶数。1---20这个数列，分为奇数和偶数两组，每组内取2个数排列（注意不是组合，因为等差数列中1-3和3-1得到的数不一样，顺序影响等差数列），A（10，2）+A（10，2）得到组合数。

• 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从左下角到右上角有多少种不同的走法?
  分析：对实际背景的分析可以逐层深入：
  （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；
  （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；
  （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；
  从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。
  ∴ 本题答案为：C（8,3）=56。

• 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？
  分析：显然本题应分步解决。
  （一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
  （二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
  （三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
  （四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
  或分步
  ⑴从6双中选出一双同色的手套，有C（6,1）=6种方法
  ⑵从剩下的5双手套中任选两双，有C（5,2）=10种方法
  ⑶从两双中手套中分别各拿一只手套，有C（2,1）×C（2,1）=4种方法。
  同样得出共⑴×⑵×⑶=240种。

• 身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比第二行的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为
  分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6,2）×C（4,2）×C（2,2）=90种。

• 停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?
  分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A（9,9）=362880种停车方法。

• 对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
  分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
  第一步：第五次测试的有C（4,1）种可能；
  第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。
  第三步：前四次有A（4,4）种可能。
  ∴ 共有576种可能。

• 福利彩票30选7，小刘以胆，3，10，17，16，以7，9，18，23为拖买彩票，花多少钱？一注2元，买以上胆拖的复式有多少钱？
  C（4，3）2元，有C（8，7）2元

• 甲乙丙丁四人传球，第一次由甲传给其余三人中任意一人，第二次由拿球人再传其余三人中一人，传4次球后，第4次仍传给甲的方法有多少？
  （甲_ _ _ 甲）
  甲乙甲乙甲
  甲乙丙乙甲
  甲乙丁乙甲
  甲丙甲丙甲
  甲丙乙丙甲
  甲丙丁丙甲
  甲丁甲丁甲
  甲丁乙丁甲
  甲丁丙丁甲（甲_ _ _ 甲）
  枚举法得到第一次和第三次都是一个人的情况，C（3，1）C（3，1）= 9
  如果第一次和第三次不是同一个人的情况：A（3，2）2 = 12
  中间环节的三个人，第一和第三两个人是排列A（3，2）第二个人只有2种选择，因为四个人两个人已经组合排列出来了，还有1个没选（可重复选，但是刚传球的无法再传，刚接球的无法再接，这一个有两种情况甲和另一个未选的）

• 在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？
  分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
  第一类：A在第一垄，B有3种选择；
  第二类：A在第二垄，B有2种选择；
  第三类：A在第三垄，B有1种选择，
  同理A、B位置互换 ，共12种。

• 在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
  以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
  第一类：这两个人都去当钳工，C（2,2）×C（5,2）×C（4,4）=10种；
  第二类：这两个人都去当车工，C（5,4）×C（2,2）×C（4,2）=30种；
  第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工C（5,4）×C（4,4）=5种。
  第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,3）=80种；
  第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,4）=20种；
  第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C（5,4）×C（2,1）×C（4,3）=40种；
  因而共有185种。

• 现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
  分析：有同学认为只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
  抽出的三数含0，含9，有32种方法；
  抽出的三数含0不含9，有24种方法；
  抽出的三数含9不含0，有72种方法；
  抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。
  因此共有32+24+72+24=152种方法。

• 六人站成一排，求
  ⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数
  ⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
  分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数
  第一步：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有A（4,2）=12种；
  第二步：由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，
  共A（4,4）=24种；
  根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12×24=288种。
  ⑵第一类：甲在排尾，乙在排头，有A（4,4）种方法。
  第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3×A（4,4）种方法。
  第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3×A（4,4）种方法。
  第四类：甲不在排尾也不在排头，乙不在排头也不在排尾，有6×A（4,4）种方法（排除相邻）。
  共A（4,4）+3×A（4,4）+3×A（4,4）+6×A（4,4）=312种。

• 对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
  分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
  第一步：第五次测试的有C（4,1）种可能；
  第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。
  第三步：前四次有A（4,4）种可能。
  ∴ 共有576种可能。

• 8人排成一队
  ⑴甲乙必须相邻
  ⑵甲乙不相邻
  ⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻
  ⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
  ⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻
  分析：⑴甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑（甲乙可交换） 和7人排列A（7,7）×A（2，2）
  ⑵甲乙不相邻，A（8,8）-A（7,7）×2。或A（6,6）×A(7,2)
  ⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻A（6,6）×2×2
  甲乙必须相邻且与丙不相邻A（7,7）×2-A（6,6）×2×2
  ⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻A（6,6）×2×2
  ⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，A（8,8）-A（7,7）×2×2+A（6,6）×2×2

• 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
  分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A（5,2）。

• 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
  分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。∴ 共C（6,3）=20种方法。

• 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
  分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
  所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，
  ∴ 共76种。

• 正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
  分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
  ∴ 共C（8,4）-12=70-12=58个。

• 1，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?
  分析：由于底数不能为1。
  ⑴当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。
  ⑵当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共A（8,2）=56，其中log2为底4=log3为底9，log4为底2=log9为底3,log2为底3=log4为底9,log3为底2=log9为底4.
  因而一共有56-4+1=53个。

• 5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
  分析：（一）首先不考虑男生的站位要求，共A（9,9）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9×8×7×6=3024种
  若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。
  （二）按照插空的方式进行思考。
  第一步：4个女生先在9个位置中选择4个，为A(9,4)种方式；
  第二步：男生站剩下的位置，因为必须从高到矮的顺序，没有规定方向，所以有2种；
  综上，总的站法数有A(9,4)×2=6048种。

• 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
  分析：先认为三个红球互不相同，共A（5,5）=120种方法。
  而由于三个红球所占位置相同的情况下，共A（3,3）=6变化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20种。
  公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列（即排序）。（P是旧用法，教材上多用A，Arrangement)
  公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。

• 10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
  分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。

• 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
  ⑴可组成多少个不同的四位数?
  ⑵可组成多少个不同的四位偶数
  ⑶可组成多少个能被3整除的四位数?
  分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300个。
  ⑵分为两类：0在末位，则有A（5,3）=60种：0不在末位，则有C（2,1）×A（5,3）-C（2,1）×A（4,2）=96种。
  ∴ 共60+96=156种。
  ⑶先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
  0，1，2，3
  0，1，3，5
  0，2，3，4
  0，3，4，5
  1，2，4，5
  它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96种。

• 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有多少种？
  分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。其中涉及到平均分成四组，有C（5,3）=10种分组方法。可以看成4个板三个板不空的隔板法。（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A（4,4）=24种，由（一）（二）可知，共10×24=240种。

• 某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如右图）
  ⑴图中共有多少个矩形？
  ⑵从A点到B点最近的走法有多少种？
  分析：⑴在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线
  可组成1个矩形，故可组成矩形C（7,2）·C（5,2）=210个
  ⑵每条东西向的街道被分成4段，每条南北向的街道被分成6段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210种走法（同样可以从10段中选出4段走南北方向，每一种选法即是1种走法）。所以共有210种走法。

• 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同，有多少种填法？
  解：第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。一共有9种填法

• 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少种
  由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42 + C21 A31A31=30个

• 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．
  解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70(种)

• 有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)
  解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440(种)

• 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个
  解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有A22种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有A22种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有A33种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共有A42种插法，所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42＝288(种)．

• 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
  分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C113 .

• 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
  1.实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称,具有相同的排法数.因而有P(6.6)/2=360种.
  2.先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位,因而前面的排法数重复了P(3.3)种,∴ 共P(6.6)/P(3.3)=120种.

• 公路一青蛙，跳一下1米，往后跳一下也是1米，动了5次，进了3米。不同的跳法？
  C（5，1）*C（4，4）

• 学校12名女生，4人一组有C（12，4）

• 将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
  分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.
  解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求）。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C（22，2）=231种不同的方法.
  点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品和m-1块隔板排成一排，占n+m-1位置，从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法
  水果分篮问题编辑

• 有广西橘子，烟台苹果，莱阳梨若干，从中随意取出四个，问共有多少种不同取法？
  问题等价于有四个水果篮，将其分为三组向里面加入不同水果，且允许篮子为空
  分为三组需要2个隔板，将水果篮与隔板并排 ，隔板共有4+2个放置位置，故有C（4+2），2个选择，
  即15种。[1]
  每人（或位置）必须有物品问题编辑

• 将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？
  分析：本题是名额分配问题，用隔板法.
  解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有C19 17种不同的放法，根据分步计数原理，共有C19 17种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有Cm-1 n-1种分法.
  对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握.