考虑3维复射影空间
中由
定义的复曲面, 其中
为正整数。假设该复曲面上存在一个恰有素数个不动点的光滑
作用，
证明:
, 并构造出相应的作用。
证：
1:不动点的性质
首先，考虑作用在复曲面上的不动点。设 作用为:
%20%5Cmapsto%20(e%5E%7Bi%5Ctheta_0%7Dz_0%2C%20e%5E%7Bi%5Ctheta_1%7Dz_1%2C%20e%5E%7Bi%5Ctheta_2%7Dz_2%2C%20e%5E%7Bi%5Ctheta_3%7D%20z_3))
其中 
且
是 的参数。
不动点条件是，对于某些
，有:
由此可知，不动点必须满足
或
(
)。
2:对 的讨论
我们分两种情况讨论:
当 时:
方程变为
。这是中的一个超平面。考虑以下作用:
%5Cmapsto%20(e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%20z_0%2C%20e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%20z_1%2C%20e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%20z_2%2C%20e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%20z_3))
显然，这个作用在 
上保持不变。不动点是满足
的点，即 或 
。对于作用，只有
时整个超平面上的点都是不动点。
这个作用在我们的定义下不会给出恰好素数个不动点。
考虑另一种作用:
%5Cmapsto%20(e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%20z_0%2C%20z_1%2C%20z_2%2C%20z_3))
此时，不动点是
或
。此时，不动点在
这个
中选择的点上。通过适当选择 作用的参数，可以控制不动点的数目为任意正整数(包括素数)。
当
时:
方程 
定义了一个更复杂的曲面。我们仍然考虑作用:
%20%5Cmapsto%20(e%5E%7Bi%5Ctheta_0%7Dz_0%2Ce%5E%7Bi%5Ctheta_1%7Dz_1%2C%20e%5E%7Bi%5Ctheta_2%7Dz_2%2Ce%5E%7Bi%5Ctheta_3%7D%20z_3))
不动点要满足
,即或
。对于，这些条件会产生更多的不动点，并且很难精确控制不动点的数目为素数个。
通过上述分析，可以看出为了保证有恰好素数个不动点，最可能的情况是。对于 .我们可以构造如下作用:
%20%5Cmapsto%20(e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%20z_0%2C%20z_1%2Cz_2%2Cz_3))
这个作用在上保持不变，并且通过选择合适的参数可以确保恰好有素数个不动点。
因此，并且可以构造出相应的作用。
