近世代数理论基础16：群在集合上的应用

群在集合上的应用

置换表示

用简单具体的置换群研究一般的抽象的有限群

设 $G$ 是一个群,X是一个集合, $S(X)$ 表示集合X上的变换群,即X上全体一一映射按照映射的合成构成的群

若存在同态 $\varphi:G\to S(X)$ ,即 $\forall g_1,g_2\in G$ ,有 $\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\circ \varphi(g_2)$ ,则 $\forall x\in X$ ,有 $\varphi(g_1g_2)(x)=[\varphi(g_1)\circ \varphi(g_2)](x)=\varphi(g_1)(\varphi(g_2)(x))$

若用 $\sigma_g$ 表示 $\varphi(g)$ ,则 $\sigma_{g_1g_2}(x)=(\sigma_{g_1}\circ\sigma_{g_2})(x)=(\sigma_{g_1}(\sigma_{g_2})(x))$

由 $\varphi$ 是同态,把单位元映为单位元,令e为群G中的单位元,则 $\sigma_e=\varphi(e)$ 即为变换群 $S(X)$ 中的单位元,即X上的恒等映射,故 $\forall x\in X$ ,有 $\sigma_e(x)=x$

上述映射是 $G\times X$ 到X上的一个映射, $\forall g\in G,x\in X$ , $\exists !\varphi(g)(x)=\tau_g(x)\in X$ 满足上面的公式,用 $g(x)$ 表示 $(g,x)$ 的像,可认为g(x)是群G中的元g对集合X中的元x作用的结果

群作用在集合上

定义：设G是群,X是一个集合,若存在一个映射 $\varphi:G\times X\to X$ ,将 $(g,x)\in G\times X$ 在 $\varphi$ 下的像记作 $g(x)$ ,满足条件：

1.设e为G的单位元, $\forall x\in X$ ,有 $e(x)=x$

2. $\forall g_1,g_2\in G,x\in X$ ,有 $(g_1g_2)(x)=g_1(g_2(x))$

则称群G作用在集合X上

轨道与传递

设群G在作用集合X上,则可诱导出集合X上的一个关系 $R=\{(x,y)\in X\times X|\exists g\in G使y=g(x)\}$ ,易证R为集合X上的等价关系,在该等价关系下,元 $x\in X$ 所在的等价类称为轨道,记作 $O_x$

$O_x=\{y\in X|(x,y)\in R\}=\{g(x)|g\in G\}$

由等价关系的基本结果,集合X被划分为若干个互不相交的轨道的并,若该等价关系只有一个轨道,则称群G在集合X上的作用是传递的

例：

1.设 $G=S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$ , $H=\{(1),(123),(132)\}$ ,易知 $H\le S_3$ ,令 $X=\{gH|g\in G\}$ 为所有左陪集的集合

$(1)H=\{(1),(123),(132)\}$

$=(123)H=(132)H$

$(12)H=\{(12),(23),(13)\}$

$=(13)H=(23)H$

即 $X=\{(1)H,(12)H\}$ , $\forall g\in G,aH\in X$ ,定义 $g(aH)=(ga)H$ ,设e为G中的单位元, $\forall aH\in X=G/H$ ,有 $e(aH)=(ea)H=aH$ , $\forall g_1,g_2\in G,aH\in X=G/H$ ,由群的结合律, $(g_1g_2)(aH)=[(g_1g_2)a]H=[g_1(g_2a)]H=g_1[g_2(aH)]$

故群G作用在X上,用1表示(1)H,2表示(12)H,该映射如下

$\begin{array}{c|cc|cc|c} &(1)H&(12)H&1&2&S_2中元\\ \hline (1)&(1)H&(12)H&1&2&(1)\\ (12)&(12)H&(1)H&2&1&(12)\\ (13)&(12)H&(1)H&2&1&(12)\\ (23)&(12)H&(1)H&2&1&(12)\\ (123)&(1)H&(12)H&1&2&(1)\\ (132)&(1)H&(12)H&1&1&(1)\end{array}$

上表表明,G在集合X上的上述作用诱导出群G到群 $S_2=S(X)$ 上的一个同态

2.设群 $G=S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$ ,集合 $X=G=S_3$ , $\forall g\in G,x\in X$ ,定义 $g(x)=gxg^{-1}$

令e为群G的单位元,则 $\forall g_1,g_2\in G,x\in X$ ,有 $(g_1g_2)(x)=(g_1g_2)x(g_1g_2)^{-1}=(g_1g_2)x(g_2^{-1}g_1^{-1})=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1[g_2(x)]$

故群G作用在集合X上,这样定义的作用对任意的G及集合X=G都成立,称为共轭作用,X中的轨道称为共轭类,该映射如下

$\begin{array}{c|cccccc}G\backslash X&(1)&(12)&(13)&(23)&(123)&(132)\\ \hline (1)&(1)&(12)&(13)&(23)&(123)&(132)\\ (12)&(1)&(12)&(23)&(13)&(132)&(123)\\ (13)&(1)&(23)&(13)&(12)&(132)&(123)\\ (23)&(1)&(13)&(12)&(23)&(132)&(123)\\ (123)&(1)&(23)&(12)&(13)&(123)&(132)\\ (132)&(1)&(13)&(23)&(12)&(123)&(132)\\ \hline\end{array}$

三个轨道： $O_{(1)}=\{(1)\}$ , $O_{(12)}=\{(12),(13),(23)\}$ , $O_{(123)}=\{(123),(132)\}$

3.设 $G=\{(1),(12),(345),(354),(12)(345),(12)(354)\}$ ,易证 $G\le S_5$ ,令 $X=\{1,2,3,4,5\}$ , $\forall \sigma=(345),x=4$ , $\sigma(4)=5$

易知群G作用在集合X上

两个轨道： $O_1=\{1,2\}$ , $O_3=\{3,4,5\}$

稳定子群

设群G作用在集合X上,设 $x\in X,g\in G$ ,若 $g(x)=x$ ,则称x是g的不动点, $\forall x\in X$ ,定义集合 $Stab(x)=\{g\in G|(x)=x\}$

$\forall g_1,g_2\in Stab(x)$ ,有 $g_1(x)=x,g_2(x)=x$ ,故 $g_1g_2^{-1}(x)=g_1(g_2^{-1}(x))=g_1(x)=x$ ,即 $g_1g_2^{-1}\in Stab(x)$ ,故 $Stab(x)$ 是G的子群,称为元x的稳定子群

定理：设群G作用在集合X上,则 $\forall x\in X$ ,有 $|O_x|=[G:Stab(x)]$

证明：

$将G关于稳定子群Stab(x)的左陪集的集合记作G/Stab(x)$

$即G/Stab(x)=\{gStab(x)|g\in G\}$

$定义从G/Stab(x)到O_x=\{g(x)|\in G\}的对应\varphi$

$\varphi(gStab(x))=g(x)$

$\because g_1Stab(x)=g_2Stab(x)\Leftrightarrow g_2^{-1}g_1\in Stab(x)$

$\Leftrightarrow (g_2^{-1}g_1)(x)=x$

$\Leftrightarrow g_1(x)=g_2(x)$

$\therefore \varphi的定义是良性的$

$且\varphi为单射$

$显然\varphi为满射$

$\therefore |O_x|=[G:Stab(x)]\qquad\mathcal{Q.E.D}$

几何意义

$\forall x\in X$ ,

令 $O_x=\{g(x)|g\in G\}$

$=\{y_1=g_1(x),y_2=g_2(x),\cdots,y_s=g_s(x)\}$

为x所在的轨道,并假设 $O_x$ 为有限集

$Stab(x)\le G$ ,由子群的陪集分解

G可分解为若干互不相交的陪集的并

若陪集的代表元选择为 $g_1,g_2,\cdots,g_s$ ,则

$G/Stab(x)=\{GStab(x)|g\in G\}$

$=\{g_1Stab(x),g_2Stab(x),\cdots,g_sStab(x)\}$

$\forall 1\le i\le s,g\in g_iStab(x)$ ,有 $g(x)=g_i(x)=y_i$

例：求正四面体 $A-BCD$ 的旋转群G

注：旋转置换,即以一个顶点到对面的垂线为旋转轴,旋转之后和原来的正四面体重合,从而是对四个顶点做置换,故G为 $S_4$ 的子群

解：

$令X=\{A,B,C,D\}$

$将其分别编号为1,2,3,4$

$将A保持不变的置换有三个$

$(1)恒等置换$

$(2)逆时针旋转120°$

$即B\to C,C\to D,D\to B$

$(3)逆时针旋转240°$

$即B\to D,D\to C,C\to B$

$即顶点A的稳定子群为$

$Stab(A)=\{(1),(234),(243)\}$

$易知,G在X上的作用是传递的$

$即O_A=X=\{A,B,C,D\}$

$|O_A|=[G:Stab(A)]=4$

$\therefore |G|=[G:Stab(A)]\cdot |Stab(A)|=12$

$下求G$

$取g_1=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}=(123)$

$则g_1(A)=B$

$\therefore g_1Stab(A)=\{(123),(123)(234),(123)(243)\}$

$=\{(123),(12)(34),(124)\}$

$取g_2=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}=(134)$

$\therefore g_2Stab(x)=\{(134),(134)(234),(134)(243)\}$

$=\{(134)(13)(24),(132)\}$

$取g_3=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{pmatrix}=(143)$

$\therefore g_3Stab(x)=\{(143),(143)(234),(143)(243)\}$

$=\{(143),(142),(14)(23)\}$

$\therefore G=\{(1),(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),$

$(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}=A_4$

$A_4为S_4中所有偶置换所构成的群$

$即为交错群A_4$

Burnside定理

定理：设G是有限群,X是有限集,群G作用在集合X上,令N表示轨道的个数,则 $N={1\over |G|}\underset{g\in G}\sum |X^g|$ ,其中 $X^g=\{x\in X|g(x)=x\}$

证明：

$定义积集合G\times X上的函数f:\forall (g,x)\in G\times X$

$f(g,x)=\begin{cases}1\qquad g(x)=x\\0\qquad g(x)\neq x\end{cases}$

$由\underset{g\in G}\sum \underset{x\in X}\sum f(g,x)=\underset{x\in X}\sum \underset{g\in G}\sum f(g,x)$

$\underset{g\in G}\sum|X^g|=\underset{x\in X}\sum|Stab(x)|$

$G为有限群,X为有限集$

$\therefore G作用在X上只有有限条轨道$

$设为O_{x_1},O_{x_2},\cdots,O_{x_N}$

$则\underset{g\in G}\sum|X^g|=\sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{x\in O_{x_i}}|Stab(x)|$

$又Stab(g(x))=gStab(x)g^{-1}$

$\therefore |Stab(g(x))=|Stab(x)|$

$即同一轨道中元的稳定子群有相同的阶$

$又|O_{x_i}=[G:Stab(x_i)]$

$\therefore \sum\limits_{x\in O_{x_i}}|Stab(x)|=|O_{x_i}|\cdot |Stab(x_i)|=|G|$

$\therefore \sum\limits_{g\in G}|X^g|=\sum\limits_{i=1}^N|G|=N\cdot |G|$

$\therefore N={1\over |G|}\underset{g\in G}\sum |X^g|\qquad\mathcal{Q.E.D}$

若将群G在集合X上的作用看作G到变换群 $S(X)$ 中的同态f,则核为

$Ker(f)=\{g\in G|f(g)=I_X\}$

$=\{g\in G|\forall x\in X有g(x)=x\}$

令 $\overline{G}=f(G)$ ,由同态基本定理, $G/Ker(f)\cong \overline{G}$

例：设G是群, $H\lhd G$ ,令 $X=\{gH|g\in G\}$ 为所有左陪集的集合, $\forall g\in G,aH\in X$ ,定义 $g(aH)=(ga)H$ ,将群G在X上的作用看作群同态f,则核为

$Ker(f)=\{g\in G|f(g)=I_X\}$

$=\{g\in G|\forall a\in G,g(aH)=(ga)H=aH\}$

$=\{g\in G|\forall a\in G,a^{-1}ga\in H\}$

$=\{g\in G|\forall a\in G,g\in aHa^{-1}\}$

$=\underset{a\in G}\bigcap aHa^{-1}$

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