这部分内容是用贝利相位给出的现代极化理论
定性分析：一个物理量不好直接测量时，我们往往施加一个微小的扰动，测量它的变化量，为了便于分析计算，我们将该过程简化为绝热过程，而绝热过程自然会联系到贝利相位。
一、问题陈述
传统的基于静态电偶极矩定义电极化矢量的方法有问题，依赖于原胞的选取，这显然不是良好的定义。所以转变思路，考察其绝热过程下，其变化量是否为良好的定义。积分号中p对参数的导数，我们采用第二个公式代入，需要求出力学量r的平均值对参数的导数。因此我们后面分两步，第一步先求出任意力学量的平均值对参数的导数；第二步将p带入，与贝利相位对比，考察其是否为良好的定义。
二、第一步，在这本书中称作线性响应理论
绝热过程，哈密顿量随参数连续变化，瞬时本征态n满足瞬时本征方程，两边同时对lamda求导，移项整理得公式1。再用同时乘上左矢，利用H的厄米性，左端为0。剩下移项得公式2.将公式2带回公式1的右端，可以简化为如下的形式，Qn为1减去n的投影算子Pn。于是我们可以将方程1改写成方程3的形式。方程3的通解为方程4的形式，其中An为实数。（我们可以这样来理解，瞬时本征态在绝热演化下随参数的改变量，一项来自于动力学，另一项来自于几何路径）。乘上一个左矢，右端第二项得0，可见An即贝利联络。用Qn同时作用于方程4的两端，并用Tn代替求和号，可以得到下面的公式，为的是后续方便表示力学量的平均值对参数的导数。
n态对力学量平均值的贡献对参数求导，这里的力学量理解为观测仪器，不随参数改变。倒数第二步，将通解带入，取实部可消去An，剩下一项，利用先前的公式，简写为Qn。总的力学量的平均值对参数的导数，应该是对所有的态进行求和，我们已经把Qn替换成了Q，即所有非占据态的投影算符之和。至此我们得到了一个任意力学量的公式。（每一个占据能态，都要包含一个对所有非占据能态求和）
三、现在我们可以求解电极化矢量的动态定义。
但是在此之前，为方便起见，我们变换到动量表象进行求解。之前得到的一些算符也相应的写成动量表象的形式。
对于力学量平均值的贡献，应该是所有占据带上所有k态的求和。当原胞数目N足够多时，求和号可化成积分，B区体积除单个态占据的体积。现在我们可以把P的公式代入上式，动量表象下，位置算符为。。。Qk=1-Pk，其中Pk相关部分为实数，因此积分为零，只剩下1的一项。将负号移进积分号内，即贝利曲率。
为了更好地理解二者的联系，我们以一维系统第n条占据能带为例。二维平面内求贝利相位的曲线积分，可以用格林公式化为曲面积分，消掉同项，合并后记为贝利曲率。进一步，在三维参数空间，利用斯托克斯公式，也可以做类似变换，贝利曲率类似参数空间中的“磁场强度”，贝利相位即磁通量。现在我们来看一维第n条占据能带，就是贝利曲率沿第一B区的积分。因此电极化矢量的变化量即贝利相位乘上一个极化量子e/2pi。
至此我们得到了基于贝利相位定义的现代极化理论，它是一个良好的定义，不依赖于规范的选取。
