过拟合、欠拟合及其解决方案
训练集和测试集
测试数据集不可以用来调整模型参数，如果使用测试数据集调整模型参数，可能在测试数据集上发生一定程度的过拟合，此时将不能用测试误差来近似泛化误差。
训练误差和泛化误差
在解释上述现象之前，我们需要区分训练误差（training error）和泛化误差（generalization error）。通俗来讲，前者指模型在训练数据集上表现出的误差，后者指模型在任意一个测试数据样本上表现出的误差的期望，并常常通过测试数据集上的误差来近似。计算训练误差和泛化误差可以使用之前介绍过的损失函数，例如线性回归用到的平方损失函数和softmax回归用到的交叉熵损失函数。
机器学习模型应关注降低泛化误差。
K折交叉验证
由于验证数据集不参与模型训练，当训练数据不够用时，预留大量的验证数据显得太奢侈。一种改善的方法是K折交叉验证（K-fold cross-validation）。在K折交叉验证中，我们把原始训练数据集分割成K个不重合的子数据集，然后我们做K次模型训练和验证。每一次，我们使用一个子数据集验证模型，并使用其他K-1个子数据集来训练模型。在这K次训练和验证中，每次用来验证模型的子数据集都不同。最后，我们对这K次训练误差和验证误差分别求平均。
过拟合和欠拟合
- 一类是模型无法得到较低的训练误差，我们将这一现象称作欠拟合（underfitting）；
- 另一类是模型的训练误差远小于它在测试数据集上的误差，我们称该现象为过拟合（overfitting）。
模型复杂度和训练集大小
给定训练数据集，模型复杂度和误差之间的关系：
影响欠拟合和过拟合的另一个重要因素是训练数据集的大小。一般来说，如果训练数据集中样本数过少，特别是比模型参数数量（按元素计）更少时，过拟合更容易发生。此外，泛化误差不会随训练数据集里样本数量增加而增大。因此，在计算资源允许的范围之内，我们通常希望训练数据集大一些，特别是在模型复杂度较高时，例如层数较多的深度学习模型。
权重衰减与 L2 范数正则化
权重衰减等价于 L2 范数正则化（regularization）。正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。
L2 范数正则化在模型原损失函数基础上添加 L2 范数惩罚项，从而得到训练所需要最小化的函数。L2 范数惩罚项指的是模型权重参数每个元素的平方和与一个正的常数的乘积。以线性回归中的线性回归损失函数为例
\ell(w_1, w_2, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y{(i)}\right)2
带有 L2 范数惩罚项的新损失函数为
\ell(w_1, w_2, b) + \frac{\lambda}{2n} |\boldsymbol{w}|^2,
有了 L2 范数惩罚项后，在小批量随机梯度下降中，我们将线性回归一节中权重 w1 和 w2 的迭代方式更改为
\begin{aligned} w_1 &\leftarrow \left(1- \frac{\eta\lambda}{|\mathcal{B}|} \right)w_1 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}x_1^{(i)} \left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right),\ w_2 &\leftarrow \left(1- \frac{\eta\lambda}{|\mathcal{B}|} \right)w_2 - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}}x_2^{(i)} \left(x_1^{(i)} w_1 + x_2^{(i)} w_2 + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}
可见，L2 范数正则化令权重 w1 和 w2 先自乘小于1的数，再减去不含惩罚项的梯度。因此，L2 范数正则化又叫权重衰减。权重衰减通过惩罚绝对值较大的模型参数为需要学习的模型增加了限制，这可能对过拟合有效。
丢弃法
设丢弃概率为p，那么有p的概率会被清零，有1-p的概率会除以做拉伸。丢弃概率是丢弃法的超参数。具体来说，设随机变量e为0和1的概率分别为p和1-p。
丢弃法不改变其输入的期望值。对之前多层感知机的神经网络中的隐藏层使用丢弃法，由于在训练中隐藏层神经元的丢弃是随机的,在训练模型时起到正则化的作用，并可以用来应对过拟合。在测试模型时，我们为了拿到更加确定性的结果，一般不使用丢弃法
超参数
参数：就是模型可以根据数据可以自动学习出的变量，应该就是参数。比如，深度学习的权重，偏差等
超参数：一般就是根据经验确定的变量，在深度学习中，超参数有：学习速率，迭代次数，层数，每层神经元的个数等等。
参数(parameters)和超参数(hyperparameters)
梯度消失和梯度爆炸
随机初始化模型参数
如果将每个隐藏单元的参数都初始化为相等的值，那么在正向传播时每个隐藏单元将根据相同的输入计算出相同的值，并传递至输出层。在反向传播中，每个隐藏单元的参数梯度值相等。因此，这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。之后的迭代也是如此。在这种情况下，无论隐藏单元有多少，隐藏层本质上只有1个隐藏单元在发挥作用。
环境因素
协变量迁移
虽然输入的分布可能随时间而改变，但是标记函数，即条件分布P（y∣x）不会改变。如训练集由照片组成，而测试集只包含卡通。
便签迁移
当我们认为导致偏移的是标签P（y）上的边缘分布的变化，但类条件分布是不变的P（x∣y）时，就会出现相反的问题。
如下：
- 病因（要预测的诊断结果）导致 症状（观察到的结果）。
- 训练数据集，数据很少只包含流感p(y)的样本。
- 而测试数据集有流感p(y)和流感q(y)，其中不变的是流感症状p(x|y)。
有时标签偏移和协变量移位假设可以同时成立。
？？？当我们期望标签偏移和协变量偏移保持时，使用来自标签偏移假设的方法通常是有利的。这是因为这些方法倾向于操作看起来像标签的对象，这（在深度学习中）与处理看起来像输入的对象（在深度学习中）相比相对容易一些。
概念偏移
即标签本身的定义发生变化的情况。如我们周游美国，按地理位置转移数据来源，我们会发现，即使是如图所示的这个简单术语的定义也会发生相当大的概念转变。
概念偏移可以根据其缓慢变化的特点缓解
作业题
如果数据量足够的情况下，确保训练数据集和测试集中的数据取自同一个数据集，可以防止协变量偏移和标签偏移是正确的。如果数据量很少，少到测试集中存在训练集中未包含的标签，就会发生标签偏移。
循环网络进阶
解决梯度衰减问题-GRU
门控循环神经网络（GRU）：捕捉时间序列中时间步距离较⼤的依赖关系
R_{t} = σ(X_tW_{xr} + H_{t−1}W_{hr} + b_r)\
Z_{t} = σ(X_tW_{xz} + H_{t−1}W_{hz} + b_z)\
\widetilde{H}t = tanh(X_tW{xh} + (R_t ⊙H_{t−1})W_{hh} + b_h)\
H_t = Z_t⊙H_{t−1} + (1−Z_t)⊙\widetilde{H}_t
点乘：按元素乘
- 重置⻔(Rt)有助于捕捉时间序列⾥短期的依赖关系；(Rt==0, dHt只包含Xt)
- 更新⻔(Zt)有助于捕捉时间序列⾥⻓期的依赖关系。(Zt==1, Ht只包含Ht-1)
LSTM: long short-term memory
- 遗忘门:控制上一时间步的记忆细胞
- 输入门:控制当前时间步的输入
- 输出门:控制从记忆细胞到隐藏状态
- 记忆细胞：⼀种特殊的隐藏状态的信息的流动
I_t = σ(X_tW_{xi} + H_{t−1}W_{hi} + b_i) \
F_t = σ(X_tW_{xf} + H_{t−1}W_{hf} + b_f)\
O_t = σ(X_tW_{xo} + H_{t−1}W_{ho} + b_o)\
\widetilde{C}t = tanh(X_tW{xc} + H_{t−1}W_{hc} + b_c)\
C_t = F_t ⊙C_{t−1} + I_t ⊙\widetilde{C}_t\
H_t = O_t⊙tanh(C_t)
