部分分式展开

函数

F(x)=\frac{G(x)}{H(x)} \\G(x)=\Sigma_{k=0}^mb_kx^k,H(x)=x^n+\Sigma_{k=0}^{n-1}a_kx^k

部分分式

真分式

m<n

无重根

此时 H(x) 可以分解为：
H(x)=\Pi_{k=1}^n(x-x_k) \\ \therefore F(x)=\Sigma_{k=1}^n\frac{K_k}{x-x_k}
K_k 为各个有理分式的待定系数，下面用掩盖法求解：
\begin{aligned} (x-x_l)F(x)&=(x-x_l)\Sigma_{k=1}^n\frac{K_k}{x-x_k}\\ &=K_l+\Sigma_{k=1\\k\ne l}^n\frac{(x-x_l)K_k}{x-x_k} \end{aligned}
令 x=x_l，即得 K_l

例题1：
分解 \frac{4x-1}{x^2+x-2}：
原式=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}
\frac{4x-1}{(x-1)(x+2)}=A+\frac{(x-1)B}{x+2}
令x=1，则A=1；同理B=3
\therefore \frac{4x-1}{x^2+x-2}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x+2}

例题2：
分解 \frac{2x^2+2x+5}{(x+1)(x^2+4)}：
原式=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+c}{x^2+4}
易知A=1，求 B 和 C：
令 x^2+4=0，有 \frac{2x^2+2x+5}{(x+1)}=Bx+C，代入 x=2i
\therefore 2i+1=2Bi+1
\therefore B=1, C=1

有重根

设 H(x)=0 有p重根 x=x_1
则H(x)=(x-x_1)^p\Pi_{k=p+1}^n(x-x_k)
F(x)=\Pi_{k=1}^p\frac{K_{1k}}{(x-x_1)^k}+\Pi_{k=p+1}^n\frac{K_k}{(x-x_k)}
\therefore (x-x_1)^pF(x)=\Pi_{k=1}^pK_{1k}+\Pi_{k=p+1}^n\frac{(x-x_1)^pK_k}{(x-x_k)}
求q次导，q是0到p之间的非负整数，并令x=x_1。
\begin{aligned} \left\{ \frac{d^q}{dx^q}[(x-x_1)^pF(x)]\right\}|_{x=x_1}&=\Sigma_{k=1}^pK_{1k}(x-x_1)^{p-k-1} \Pi_{l=0}^{q-1}(p-k-l)\\ &=K_{1(p-q)}\Pi_{l=0}^{q-1}(q-l)\\ &=q!K_{1(p-q)} \end{aligned}
令q \to p-q有：
\left\{\frac{d^{p-q}}{dx^{p-q}}[(x-x_1)^pF(x)]\right\}|_{x=x_1}=(p-q)!K_{1q}
\therefore K_{1q}=\frac{1}{(p-q)!} \left\{\frac{d^{p-q}}{dx^{p-q}}[(x-x_1)^pF(x)]\right\}|_{x=x_1}

例题：
分解\frac{x^2+5x-2}{(x+1)^3}
原式=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}
C=x^2+5x-2|_{x=-1}=-6
x^2+5x-2=A(x+1)^2+B(x+1)+c
求导有2x+5=2A(x+1)+B
令x=-1则B=3
再求导2=2A，\therefore A=1
\therefore \frac{x^2+5x-2}{(x+1)^3}=\frac{1}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}+\frac{-6}{(x+1)^3}

假分式

当 m\ge n 时，F(x) 为假分式，用长除法转化为多项式与真分式的和。

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