(本笔记使用的书是丁同仁和李承治的《常微分方程教程》)
学习常微分方程之前,首先说明几个很常见的概念.微分方程指含有函数)
和函数导数%7D))
的方程.如果未知函数是单变量函数,那么称之为常微分方程(ODE);如果未知函数是多元函数,那么称之为偏微分方程(PDE).对于一个常微分方程,如果出现的最高求导次数项为%7D)
,则称该方程为
阶的;如果出现的最高次幂项为k次幂项,则称该方程为次的.
实际上我们研究的主要问题就是ODE解的存在性和求解问题,
Def 1通解:设一个
阶方程的解)
含有个独立的任意常数
,即雅可比式不为0%7D)%7D%7B%5Cpartial(C_1%2CC_2%2C...%2CC_n)%7D%5Cneq%200)
那么我们称
为该方程的一个通解
至于为什么一个微分方程的通解有个任意常数,我们暂时无法解决,但一个含有个任意常数的函数是否对应一个n阶微分方程的解呢?
Ex 1:设)
充分光滑,各任意常数相互独立,求证:存在一个阶微分方程,它的通解为
证明:首先对y求导(已知光滑),得到%5C%5C%20%26y%5E%5Cprime%3Dg%5E%5Cprime(x%2CC_1%2C...%2CC_n)%5C%5C%20%26%5Ccdots%5C%5C%20%26y%5E%7B(n-1)%7D%3Dg%5E%7B(n-1)%7D(x%2CC_1%2C...%2CC_n)%5C%5C%20%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.)
又各任意常数
相互独立,即,根据向量值函数的隐函数存在定理,得到%7D)%5C%5C%20%26C_2%3D%5Cphi_2(x%2Cy%2Cy%5E%5Cprime%2C%5Ccdots%2Cy%5E%7B(n-1)%7D)%5C%5C%20%26%5Ccdots%5C%5C%20%26C_n%3D%5Cphi_n(x%2Cy%2Cy%5E%5Cprime%2C%5Ccdots%2Cy%5E%7B(n-1)%7D)%5C%5C%20%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.)
将代入即可
如果通解的常数都固定下来,那么就称此时的为一个特解.固定任意常数的方法可以是给出的各阶导数的函数值,这样的问题我们成为初值问题,也称作
.初值条件的一般形式是%3Dy_0%2Cy%5E%5Cprime(x_0)%3Dy%5Cprime_0%2C%5Ccdots%2Cy%5E%7B(n-1)%7D(x_0)%3Dy%5E%7B(n-1)%7D_0%20%5Cend%7Baligned%7D)
实际上我们可以在初值条件)
的一个邻域内类似Ex 1地确定通解中的所有任意常数.
几何解释
以一阶微分方程为例
%2Cf(x%2Cy)%5Cin%20C(I))
设它的通解是)
,显然对于I内的一个点即使我们不知道)
的表达式我们仍然知道在这一点处的斜率是)
,我们称经过)
斜率为f(x_0,y_0)的一条小线段为在的线素,记作)
,I及其上所有线素称作线素场.无论)
是确定值还是无穷大,我们都能得到确定的线素,如果点的值是不定式,那么我们称这点为线素场的奇异点.
为了作出微分方程的线素场,我们常常用%3Dk)
来近似作图,这条曲线上所有线素的斜率相同,因此这条曲线被称为线素场的等斜线.
