长方形，正方形的面积:
到目前为止，我们已经知道了，正方形和长方形的面积。那就是长乘宽或边长乘边长。
问题:但为什么要这样呢？
猜想:点成线，线成面，面成体。想要知道面是怎么来的，必须要先把线给弄清楚。
证明:如果想测量一个物体的长度，就必须需要一个基准来测量。古人可能会使用手指或者用一个东西来测量。但是这又存在了一个问题，那就是基准不一样。这怎么办呢？这要涉及到统一的标准，比如现在社会上统一的标准是米。我们就以米为标准。我们只需要把测量物体的东西不断地拉长，便可以测出物体的长度。但这并不能帮助我们解决面积的问题。最终，我们使用了小面积方块儿，来填补这个大正方形，看能填几个，它的面积就是多少。比如我们设一个小正方形的面积为一平方厘米，然后把它铺到一个大的长方形里，如果正好能出八个，那它的面积就是八平方厘米。横着放四个竖着放两个，这样一乘就是八个，也就是2x4等于八。如果设长，宽分别为a和b，也就是axb等于它的面积。
三角形的面积:
问题:既然我们已经知道了长方形和正方形的面积，那三角形该如何求呢？他们之间有没有什么关系呢？
猜想:有关系
证明:如果把一个长方形对角剪，剪出来的就是两个一模一样的直角三角形。相当于也就是把大长方形的面积除以二，等于其中一个小直角三角形的面积。其中一个直角三角形的底充当的就是大长方形的长，它的高是这个的长方形的宽。所以最后也就得到了一个公式，直角三角形的面积等于长，正方形长乘以宽再除二，也可以是它的底乘高除以二。但这只是直角三角形，还有很多其他的三角形，如一般三角形，钝角三角形。他们该如何求呢？
按照刚才的思路继续往下。我们可不可以将一个任意的三角形分成两个直角三角形呢？我们既然已经知道了直角三角形的面积，分成两个直角三角形，把两个的面积分别算出来，再一加就等于这个任意三角形的面积。如果这个任意三角形的高是c的话。那么分开之后他每一个的底就设为a，b。最后这个任意三角形的面积就等于Cxa除以2，加上bxc除以2。如果简化一下的话就是(a+b)xc÷2。cxa加上c成b也可以转化为，(a+b)乘c除2，就是乘法分配律。所以任意三角形的底乘以它的高等于它的面积。
平行四边形的面积:
问题:平行四边形的面积可不可以用三角形解决？
猜想:可以。
证明:我们可以先试着把平行四边形平均分成两个三角形。对角相减，这样减出来的就是两个一模一样的三角形。然后再把其中一个三角形分成两个直角三角形，把两个都求出来之后，相加。再乘二，就是这个平行四边形的面积。
梯形的面积:
问题:梯形的面积能不能用三角形来解决？
猜想:可以
证明:可以把一个梯形分成两个同样的直角三角形，还有一个长方形或正方形。然后呢，把其中的一个直角三角形面积求出来之后，在乘二。把中间的长方形和正方形面积算出来，一相加就能算出来了。或者也可以使用割补法把它其中的一个直角三角形补到另外一个地方合成一个长方形，这样的话只需要让它的长和宽相加就可以了，也就是这个梯形的底和它的高。
