机械动力学（一）：刚体动力学

前言

机械动力学系列文章，初衷是整理研究生课程《机械动力学》主干知识。每篇文章最前会给出本部分在国内的课程名称，以及所需要的前修知识。

刚体动力学

对于刚体动力学，本部分的讲授内容实际为理论力学（二）：刚体的一般运动（三维运动）。因此，学习这部分所需的前修课程有：理论力学（质点运动、刚体的平面运动）、矢量分析基础。

本部分的具体可以参考：Hibbeler R C. Engineering Mechanics: Dynamics (12th) (Chap.20 21)

刚体运动的分类

从运动维度来分，刚体可分为平面运动（二维）和一般运动（三维）。平面运动内有平动和定轴转动两种特殊形式，组合在一起即为平面运动。而对于一般运动，有一些特殊的一般运动比如定点运动（陀螺）等。因此，如何用物理方程描述这些运动，便是后续讨论的内容。

刚体的一般运动：运动学分析

描述刚体一般运动的坐标系（以平面为例）

$XYZ$ ：全局坐标系，固定坐标系。以下简称定系。
$xyz$ ：局部坐标系，旋转坐标系。以下简称动系。

位置关系： $\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{B/A}$

上式对时间求导，可得到速度关系： $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \frac{{\rm d}}{{\rm d}t }\vec{r}_{B/A}$ 。对于旋转矢量（ $\vec{r}_{B/A}$ 在全局固定坐标系下与局部动坐标系固结，随着动系旋转），求旋转矢量对时间的导数，可以使用如下公式计算：

$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t }\vec{r}_{B/A} = (\vec{v}_{B/A})_{xyz} + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}$

平面中理解即为绝对速度=相对速度（相对导数）+牵连速度。稍加整理，便可以得到速度关系： $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A} +(\vec{v}_{B/A})_{xyz}$

继续对时间求导，注意旋转矢量对时间求导的计算，即可得到加速度关系：

$\vec{a}_B = \vec{a}_A +\dot{ \vec{\Omega}} \times \vec{r}_{B/A} + \vec{\Omega} \times (\vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}) + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_{B/A} + (\vec{a}_{B/A})_{xyz}$

平面中理解即为绝对加速度=牵连加速度（切向+法向）+科氏加速度+相对加速度。

刚体的一般运动：动力学方程

对于平面运动的动力学方程具体形式这里不再展开叙述。

经典力学中，最基本的动力学方程为： $\sum \vec{F} = m \vec{a}_G$ $\sum \vec{M}_O = \dot{\vec{H}}_O$
第一式为牛顿方程，可以在直角坐标，极坐标，自然坐标系下列出投影式。
第二式为欧拉方程，上式为针对固定点的欧拉方程。若对刚体的质心列欧拉方程，形式上与固定点的欧拉方程类似（推导略过）： $\sum \vec{M}_G = \dot{\vec{H}}_G$
欧拉方程中 $\vec{H}$ 为刚体的角动量（动量矩）：

对固定点 $O$ 的角动量： $\vec{H}_O = \int_m \vec{r}_O \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_O) \,\mathrm{d}m$
对质心 $G$ 的角动量： $\vec{H}_G = \int_m \vec{r}_G \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_G) \,\mathrm{d}m$
对任意点 $A$ 的角动量： $\vec{H}_A = \int_m \vec{r}_{G/A} \times m \vec{v}_G + \vec{H}_G$

欧拉方程中， $\dot{\vec{H}} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\vec{H}$ ，然而其具体形式依然不是很清楚，需要继续推导。显然这里是旋转矢量对时间求导，因此有：
$\sum \vec{M}_O = (\vec{H}_O)_{xyz} + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{H}_O$ $\sum \vec{M}_G = (\vec{H}_G)_{xyz} + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{H}_G$
其中， $xyz$ 为与刚体固结的坐标系， $(.)_{xyz}$ 表示在动坐标系内求相对导数。在这里 $\vec{\omega}$ 和 $\vec{\Omega}$ 分别表示刚体转动角速度和局部（动）坐标系的角速度。但是实际运用过程中一般将动系与刚体固结，即 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ 。
下面具体讨论 $\vec{\omega}$ 和 $\vec{\Omega}$ 大小关系不同时，欧拉方程的具体形式：

$\vec{\Omega} = \vec{\omega} = 0$
刚体做平面运动，方程退化为： $\sum \vec{M}_O = J \times \vec{\alpha}$ ，不在讨论。其中 $J$ 为转动惯量（质量主惯性矩）。
$\vec{\Omega} = \vec{\omega} \neq 0$
这是最常用的情形：动系与刚体固结。当动系的原点为固定点 $O$ 或质心 $G$ 时，角动量对时间求导出现的质量惯性积为0，即：
$\begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{x} & 0 & 0 \\ 0 & I_{y} & 0 \\ 0 & 0 & I_{z} \\ \end{bmatrix}$
欧拉方程为：
$\sum \vec{M}_x = I_x \dot{\vec{\omega}}_x - (I_y - I_z)\vec{\omega}_y \vec{\omega}_z$ $\sum \vec{M}_y = I_y \dot{\vec{\omega}}_y - (I_z - I_x)\vec{\omega}_z \vec{\omega}_x$ $\sum \vec{M}_z = I_z \dot{\vec{\omega}}_z - (I_x - I_y)\vec{\omega}_x \vec{\omega}_y$
$\vec{\Omega} \neq \vec{\omega}$
不常用，有需要再展开叙述。

分析方法：运动学

建系

建立定系、动系一般固结在刚体上，即 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ 。

运动分析

列出动点、定点的速度、加速度关系式，计算所需要的物理量：
$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A} +(\vec{v}_{B/A})_{xyz}$
$\vec{a}_B = \vec{a}_A +\dot{ \vec{\Omega}} \times \vec{r}_{B/A} + \vec{\Omega} \times (\vec{\Omega} \times \vec{r}_{B/A}) + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_{B/A} + (\vec{a}_{B/A})_{xyz}$

$\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ ，则 $\dot{\vec{\Omega}} = (\dot{\vec{\omega}})_{xyz}$ 。

$\vec{r}_A$ 入手，一般用动系的基底表示比较方便。注意旋转矢量对时间的求导计算。

$(\vec{r}_{B/A})_{xyz}$ 同理。

对应分量相等，即可求解出未知量。

分析方法：动力学

受力分析

画实例分析图，建立定系、动系一般固结在刚体上，即 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ 。

计算刚体对其旋转轴（动系轴）的质量惯性积。

运动学分析

对于 $\vec{\Omega} = \vec{\omega}$ ，有 $\dot{\vec{\Omega}} = (\dot{\vec{\omega}})_{xyz}$

列动力学方程

6个方程6个未知数，即可求解。

最后编辑于：2018.10.02 20:08:03

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