1. 一般形式
对于方程如果
，则方程为拉普拉斯方程，否则为泊松方程。
如果，则称其为狄利克雷问题；如果
，则称其为诺伊曼问题；否则为混合问题。
此外，根据的范围，还可分为圆域内，圆环，圆外三种。
2. 拉普拉斯方程
使用分离变量的方法，我们能够得出如下结论：
- 对于圆域内的问题，其解的形式为
- 对于圆外的问题，其解的形式为
- 对于圆环上的问题，其解的形式为
所以，对于拉普拉斯方程，我们按形式设解，代入边值条件即可。（可能需要对边值条件中的进行傅里叶展开）
关于拉普拉斯方程三个不同形式的解：显然圆环上的解的形式是最全的。
对于圆域内的问题，因为可以取到0，如果留下
和
项，则此时当
时，
，这与实际的物理含义不符。
对于圆域外的问题，同理留下会使得在无穷远处
，也是与实际不符。
3. 泊松方程
显然，泊松方程是拉普拉斯方程的非齐次形式。我们的求解步骤为：找特解，转化为拉普拉斯方程，求拉普拉斯方程，综合。
对于或是
1.如果
则存在特解或
其中，
2.如果
则设特解或
求出特解后，作变换即可将泊松方程转换为拉普拉斯方程，然后求解拉普拉斯方程得到
，从而
。
