变量是我们在小学探讨过的知识，而在所有的变量之中，我们小学研究过的是正比例关系和反比例关系。

        《玩游戏学数学》系类从书中，每本书的单价10元，购买数量与花费总价的和关系如下：

        在这个例子当中，虽然总价和数量都是一对在变化中的量。但是总价与数量的比值，也就是单价，一直不变。这样两个变量之间的关系，就是正比例关系。

        在这两个变量的关系之中，数量、总价和单价是有名称的。这个例子中，数量是“自己在变化的量”，而总价的变化仅是因为数量在变化。我们把“自己在变化的量”称之为自变量，因为自变量而变化的量，称之为因变量。把一直不变的量（在此情景中，是单价）称之为常量。我们通常把自变量设为x，因变量设成y。在这个例子当中，y是x的函数。那么，什么又是函数呢？

       这是函数的定义：任意给定一个x值，总有一个唯一确定的y值与之对应。

        在这个实际例子当中，我们任意给定一个x的值，也就是任意给定要买的数量，对应的价钱将会是唯一确定的。我们规定，若任意给定一个x值，总有一个唯一确定的y值与之对应。我们就把y称为x的函数。y和x是函数关系。

        函数的表达方式一共有三种，分别是：关系式，表格和图象。先来看一个关系y=x+2，对于这个关系式，我们可以列出一个表格：

        我们以（x，y）为一个点，在平面直角坐标系中，找到这些点。我们随意代入图表中的x和y这一组数对。比如代入：x=-3，y=-1，就会得到数对：（-3，-1），把这些数对在平面直角坐标中标记上，就会得到：

        我们将这些点连城一条线，就会得到这样一个一次函数图象:

       为什么我们可以将这些点连接起来呢？因为每一个图象上的点都是满足函数关系式的，每满足函数关系式的点都在这条函数图象上。并且我们猜测，一次函数的函是一条直线，因为x和y都在成比例的均匀变化。事实是这样的，不过我们现在不能证明。

       这里，我们需要给一次函数一个普遍的关系式，数学界给定的式子是：y=kx+b（k≠0），这样一个式子可以代表任何一个一次函数。这里的k和b表示常数。而k≠0.因为如果k=0，那么y=b，也就是，y等于一个常数，这就不是一次函数了。我们把这样的函数命名为：常函数。就是：不管x取什么值，值都是惟一的，永远不会变。

        如果我们知道了函数图象，函数关系式，是可以求出的。

        如图，我们可以看出：当x=0时，y=2；当x=-2时，y=0.我们先将这个函数关系式设为：y=kx+b（k≠0），因为这是一个普遍的关系式，对于任何一次函数都成立。然后，我们把x=0，y=2代入到这个普遍的关系式当中，因为任何满足这个函数关系的一组数对都会满足这个关系式。可以得到：2=0+b，b=2.所以y=kx+2.

        我们再把x=-2，y=0代入这个关系式，得到：0=-2k+2,求出k=1.

        我们知道b=2，k=1，将它们代入：y=kx+b ，就得到了这个函数图像的关系式：y=x+2.我们把这样的方法叫做：待定系数法。

        下面，我们要探究的是一次函数关系式中的k和b会对函数图象有那些影响。首先来看b。

        如图，下图中，三个颜色的函数图象的关系式是：y=2x-1；y=2x；y=2x+1

        我们发现，这三条线的位置关系是平行的；我们还发现b值为1的函数图象与y轴的交点是（0，1）；b值为0的函数图象与y轴的交点是（0，0）；b值为-1的函数图象与y轴的交点是（0，-1）。也就是，b的值确定这一次函数函数图象与y轴的交点的纵坐标为（0，b），但不影响图象的倾斜角度。因为上边三条函数图象与x轴形成的夹角是一样的。

        接下来就是关于k对于函数图象的影响。看三个函数关系式和函数图象：y=-x；y=-2x；y=2x

        我们发现，当k的值为正数的时候，所画出的函数图象是“上升状态的”，也就是，y的值会随着x的增大而增大。而如果可得值为负数，小于零。那么函数图象就会由上到下的下降，也就是，y的值随着x的增大而减少。

       因为这三个一次函数的b值都为0，所以和y轴的交点就都是（0，0）.而我们发现，这里的k的取值和函数图象倾斜的方向有直接的关系。

       一次函数中k值的意义，就是x每增加1，y值增加多少。如果说k的值为2，那么每当x的值增加1，y增加的就会是2.

       那么关联到函数图象之中，k的值越小，x每增加1，y的值就会增加的越少，那么显然，如果任意代入一个x的数值，k的值越小，这个点距离x轴的距离就会越近。那么对应着的，这个函数图象与x轴的夹角就会越小。K的值越大，x每增加1，y增加的越多。人一代入一个x的值，对应着的y值就会越大。也就是这一个点会更靠近y轴，更远离x轴。所画出的函数图象与x轴的夹角就会越大。这是建立在函数图象实在第一象限的条件下的：k的值越大，图象的与x的夹角就越大，也就是倾斜角度越大。但是要是图象经过第二象限就不一样了。

       因为经过第二象限的图象，x与y需要满足当x的值为负数时y的值为正数。所以k的值必须小于零，为负数。当k的绝对值相对大的时候，乘以x以后的y值就会相对大。任意代入一个x的值，对应的点就会更靠近y轴。当k的绝对值相对小的时候，任意代入一个x值，对应的y值就会相对的小。所画出的一次函数图象与x轴的夹角就会更小。但是因为对于一个负数，绝对值更大的值，数越小。所以其实，k的值越小，函数图象与x轴的夹角就会越大。k的值越小，函数图象与x轴的夹角就会越大。就是说，在图像经过第二象限的时候，k的取值越大，图象与x轴的夹角越大。反之越小。

       我们也可以总结成这样：（不管在第一象限还是第二象限，）k的值越大，图象的倾斜角度就越大。

可以得到，所有b值为0的一次函数图象都经过原点，但是所有经过原点的直线不都一定是一次函数图象。比如说，平行于x轴的直线。

如果一个函数图象平行于x轴，那么不关取什么x的值，y的值都是不变的，这个是常函数，不是一次函数。

       如果平行于y轴呢？那么给定一个x的值，会有无数的y值可以与之对应，这就不再是函数了。所以，在所有过原点的直线中，平行于两个坐标轴的直线不是一次函数。

       这就是这一章节要精确落实的内容。

       那么，我们可以用函数图象解决什么问题呢？最直接的就是不等式的：

       来看一个很简单的一次函数：y=x+1。这个函数的函数图像如下图所示：

    
        根据y=x+1这个关系式，可以得到图像与x轴的交点，（-1，0）。那么当y>0时，x等于多少呢？我们已经得出，当x正好等于-1的时候，y就等于0。那么，当x大于-1的时候，y就大于0.用一把尺子，垂直于x轴，从x轴的负半轴慢慢移向x轴的正半轴。当这把尺子刚好移动到（-1，0）这个点的时候，图像所对应的y值就为零。尺子越来越往右，图像对应的y值也就越来越大。所以，当y>0时，x>0-1.而我们有知道，y是等于x+1的，我们由此可以等量代换，变成当x+1>0时，x>-1.像这样x+1>0含有不等号（＞、＜、≥、≤、≠）的这些式子，我们命名为：不等式。而满足不等式的（如上边例子中的x>1），并不是一个数字，而是一组数字，我们称之为：解集。

        用同样的方法，当y<0的时候，x<-1才可以在这个函数图像中满足。再利用y=x+1，得到当x+1<0时，x<-1。

        这就是三个一次：一次函数、一元一次方程和一元一次不等式，之间的关系。

        那么，函数的未来朝向哪里呢？这就有很多了。二次函数、三次函数、反比例函数、绝对值函数或者是常函数都是我们未来可以探索的。我们未来可以探索的。