高等数学——多元函数微分法

1. 基本概念

1.1 点和点集之间的关系

任意一点 $P \in R^{2}$ 与任意一个点集 $E \in R^{2}$ 之间必有以下三种关系中的一种：
(1) 内点：如果存在点 $P$ 的某个领域 $U(P)$ ，使得 $U(P) \subset E$ ，则称 $P$ 为 $E$ 的内点。
(2) 外点：如果存在点 $P$ 的某个领域 $U(P)$ ，使得 $U(P) \cap E = \varnothing$ ，则称 $P$ 为 $E$ 的外点。
(3) 边界点：如果点 $P$ 的任一领域内既包含有属于 $E$ 的点，又含有不属于 $E$ 的点，则称 $P$ 为 $E$ 的边界点。

$E$ 的边界点的全体，称为 $E$ 的边界，记作 $\partial E$ 。
$E$ 的内点必属于 $E$ ， $E$ 的外点必不属于 $E$ ， $E$ 的边界点可能属于 $E$ ，也可能不属于 $E$ 。

聚点：如果对于任意给定的 $\delta > 0$ ，点 $P$ 的去心领域 $\overset{\circ}{U}(P,\delta )$ 内总有 $E$ 中的点，则称 $P$ 是 $E$ 的聚点。

开集：如果点集 $E$ 的点都是 $E$ 的内点，则称 $E$ 为开集。
闭集：如果点集 $E$ 的边界 $\partial E \subset E$ ，则称 $E$ 为闭集。
连通集：如果点集 $E$ 内任何两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于 $E$ ，则称 $E$ 为连通集。

区域（或开区域）：连通的开集称为区域。
闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。

有界集：对于平面点集 $E$ ，如果存在某一正数 $r$ ，使得 $E\subset U(O,r)$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则称 $E$ 为有界集。
无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集。

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1.2 多元函数的极限

设二元函数 $f(P) = f(x, y)$ 的定义域为 $D,P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点，如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $\epsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当点 $P(x, y) \in D \cap \overset{\circ}{U}(P,\delta )$ 时，都有 $|f(P) - A| = |f(x, y) - A| < \epsilon$ 成立，那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$ 时的极限，记作 $\underset{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0) }{lim} f(x,y) = A 或 f(x, y) \rightarrow A ((x,y) \rightarrow (x_0, y_0))$

1.2 多元函数的连续性

设二元函数 $f(P) = f(x, y)$ 的定义域为 $D,P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点，且 $P_0 \in D$ ，如果 $\underset{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0) }{lim} f(x,y) = f(x_0, y_0)$ 则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 连续。

设函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有定义， $D$ 内的每一点都是函数定义域的聚点。如果函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 的每一点都连续，那么就称函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，或者函数 $f(x, y)$ 是 $D$ 上的连续函数。

设函数 $f(P) = f(x, y)$ 的定义域为 $D,P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点，如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 不连续，则称 $P_0(x_0,y_0)$ 为函数 $f(P) = f(x, y)$ 的间断点。

一切多元初等函数（多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数）在其定义区域内是连续的，所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

2. 偏导数

2.1 定义

设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一领域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应的函数有增量 $f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$ ，如果 $\underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}\tag{1}$ 存在，则称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作
$\frac{\partial z}{\partial x}\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}}, \frac{\partial f}{\partial x}\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}}, z_x\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}} 或 f_x(x_0,y_0)$
类似的，函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $y$ 的偏导数定义为 $\underset{\Delta y\rightarrow 0 }{lim} \frac{f(x_0 , y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}\tag{1}$
记作
$\frac{\partial z}{\partial y}\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}}, \frac{\partial f}{\partial y}\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}}, z_y\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}} 或 f_y(x_0,y_0)$

一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，因为各偏导数存在只能保证点 $P$ 沿着平行于坐标轴方向趋于 $P_0$ 时，函数值 $f(P)$ 趋于 $f(P_0)$ ，但不能保证点 $P$ 按任何方式趋于 $P_0$ 时，函数值 $f(P)$ 都趋于 $f(P_0)$ 。

2.2 高阶偏导数

设函数 $z=f(x, y)$ 在区域 $D$ 内具有偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} = f_x(x, y),\frac{\partial z}{\partial y} = f_y(x, y)$
那么在 $D$ 内 $f_x(x, y), f_y(x, y)$ 都是 $x, y$ 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数：
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= f_{xx}(x, y),\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}= f_{xy}(x, y)$
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}= f_{yx}(x, y),\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^{2}}= f_{yy}(x, y)$

定理如果函数 $z=f(x, y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$ 在区域 $D$ 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。也就是说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。

3. 全微分

3.1 定义

设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某一领域内有定义，如果函数在点 $(x, y)$ 的全增量
$\Delta z = f(x + \Delta x, y+ \Delta y) - f(x, y)$
可表示为
$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho )$
其中 $A,B$ 不依赖于 $\Delta x, \Delta y$ 而仅与 $x,y$ 有关， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$ ，则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微分，而 $A\Delta x + B\Delta y$ 称为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全微分，记作 $dz$ ，即
$dz = A\Delta x + B\Delta y$
如果函数在区域 $D$ 内各点处都可微分，那么称这函数在 $D$ 内可微分。

多元函数在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续；但是，如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微分，那么这函数在该点必连续。

定理 1 如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微分，则该函数在点 $(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全微分为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y$

定理 2 如果函数 $z=f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x, y)$ 连续，则函数在该点可微分。

3.2 全微分形式不变性

设函数 $z = f(u, v)$ 具有连续偏导数，则有全微分 $dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$
如果 $u,v$ 又是中间变量，即 $u = \varphi(x,y)$ 、 $v = \psi(x,y)$ ，且则两个函数也具有连续偏导数，则复合函数 $z = f[\varphi(x,y), \psi(x,y)]$ 的全微分为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$
由4.2中的公式可得
$dz = (\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})dx + (\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})dy \\ = \frac{\partial z}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy) + \frac{\partial z}{\partial v}(\frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy) \\ = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$

4. 多元复合函数的求导

4.1 一元函数与多元函数复合的情形

定理 1 如果函数 $u = \varphi(t)$ 及 $v = \psi(t)$ 都在点 $t$ 可导，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，则复合函数 $z = f[\varphi(t), \psi(t)]$ 在点 $t$ 可导，且有
$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}$
这里的 $\frac{dz}{dt}$ 称为全导数。

4.2 多元函数与多元函数复合的情形

定理 2 如果函数 $u = \varphi(x,y)$ 及 $v = \psi(x,y)$ 都在点 $(x, y)$ 具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，则复合函数 $z = f[\varphi(x,y), \psi(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 的两个偏导数都存在，且有
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

4.3 其他情形

定理 3 如果函数 $u = \varphi(x,y)$ 在点 $(x, y)$ 具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $v=\psi(y)$ 在点 $y$ 处可导，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，则复合函数 $z = f[\varphi(x,y), \psi(y)]$ 在点 $(x,y)$ 的两个偏导数都存在，且有
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy}$

4.4 笔记

无论 $z$ 对谁求导，也不论求了几阶导，求导之后的新函数仍具有与原来函数完全相同的复合结构。

5. 隐函数的求导

5.1 一个方程的情形

隐函数存在定理 1 设函数 $F(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一领域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0) = 0, F_y'(x_0, y_0) \neq 0$ ，则方程 $F(x_0, y_0) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$ ，它满足条件 $y_0=f(x_0)$ ，并有 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$
此公式将 $y=f(x)$ 带入方程 $F(x, y) = 0$ 然后对等式两边求导即可得出。

隐函数存在定理 2 设函数 $F(x, y, z)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某一领域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0, F_y'(x_0, y_0, z_0) \neq 0$ ，则方程 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $z=f(x, y)$ ，它满足条件 $z_0=f(x_0, y_0)$ ，并有 $\frac{\partial z}{\partial x}= -\frac{F_x}{F_z}, \frac{\partial z}{\partial y}= -\frac{F_y}{F_z}$
同理，将 $z=f(x,y)$ 带入方程 $F(x, y, z) = 0$ 然后对等式两边求导即可得出。

5.2 方程组的情形

隐函数存在定理 3 设函数 $F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)$ 在点 $P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一领域内具有对各个变量的连续偏导数，又 $F(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0, G(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0$ 且偏导数所组成的函数行列式 $J = \frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}$
在点 $P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 不等于零，则方程组 $F(x, y, u, v) = 0, G(x, y, u, v) = 0$ 在点 $P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ ，它们满足条件 $u_0=u(x_0, y_0), v_0=v(x_0, y_0)$ ，并有
$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)} = - \frac{\begin{vmatrix} F_x & F_v\\ G_x & G_v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix}}$
$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)} = - \frac{\begin{vmatrix} F_u & F_x\\ G_u & G_x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix}}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (y, v)} = - \frac{\begin{vmatrix} F_y & F_v\\ G_y & G_v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix}}$
$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)} = - \frac{\begin{vmatrix} F_u & F_y\\ G_u & G_y \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix}}$
对方程组 $F(x, y, u, v) = 0, G(x, y, u, v) = 0$ 两边进行求导，然后解方程组即可得出。

6. 空间曲线的切线与法平面

设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为
$\left\{\begin{matrix} x = \varphi (t)\\ y = \psi (t)\\ z = \omega (t) \end{matrix}\right.,t\in [\alpha, \beta]\tag{1}$
假定三个函数都在 $[\alpha, \beta]$ 上可导，且三个导数不同时为零。
设与点 $M(x_0, y_0, z_0)$ 对应的参数为 $t_0$ ，记 $f(t) = (\varphi (t), \psi (t), \omega (t)), t\in [\alpha, \beta]$ ，则向量 $T = f'(t_0) = (\varphi' (t_0), \psi' (t_0), \omega' (t_0))$ 就是曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的一个切向量，所以曲线 $\Gamma$ 在点 $M(x_0, y_0, z_0)$ 处的切线方程为
$\frac{x-x_0}{\varphi '(t_0)} = \frac{y-y_0}{\psi '(t_0)} = \frac{z-z_0}{\omega '(t_0)}$
通过点 $M$ 且与切线垂直的平面称为曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的法平面，它是通过点 $M$ 且以 $T = f'(t_0)$ 为法向量的平面，因此，法平面的方程为 $\varphi '(t_0)(x-x_0) +\psi '(t_0)(y-y_0) + \omega '(t_0)(z-z_0) = 0$

7. 曲面的切平面与法线

设曲面 $\Sigma$ 由方程 $F(x, y, z) = 0$ 给出， $M(x_0, y_0, z_0)$ 是曲面 $\Sigma$ 上的一点，并设函数 $F(x, y, z)$ 的偏导数在该点连续且不同时为零。在曲面 $\Sigma$ 上通过点 $M$ 的一切曲线在点 $M$ 的切线所构成的平面称为曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 的切平面，其方程为
$F_x(x_0, y_0, z_0)(x-x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y-y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z-z_0) = 0\tag{2}$
通过点 $M$ 且垂直于切平面 $(2)$ 的直线称为曲面在该点的法线，其方程为
$\frac{x-x_0}{F_x(x_0, y_0, z_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(x_0, y_0, z_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(x_0, y_0, z_0)}$
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量
$n = (F_x(x_0, y_0, z_0), F_y(x_0, y_0, z_0), F_z(x_0, y_0, z_0))$
就是曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 处的一个法向量。

8. 方向导数与梯度

偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。

8.1 方向导数

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设 $l$ 是 $xOy$ 平面上以点 $P_0(x_0, y_0)$ 为始点的一条射线， $e_l = (cos \,\alpha, cos\, \beta)$ 是与 $l$ 同方向的单位向量。射线 $l$ 的参数方程为
$\begin{matrix} x = x_0 + t cos\,\alpha \\ y = y_0 + t cos\,\beta \end{matrix},t \geqslant 0$
设函数 $z=f(x, y)$ 在 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域 $U(P_0)$ 内有定义， $P(x_0 + t cos\,\alpha ,y_0 + t cos\,\beta)$ 为 $l$ 上的另一点，且 $P \in U(P_0)$ 。如果函数增量 $f(x_0 + t cos\alpha ,y_0 + t cos\beta) - f(x_0, y_0)$ 与 $P$ 到 $P_0$ 的距离 $|PP_0| = t$ 的比值
$\frac{f(x_0 + t cos\,\alpha ,y_0 + t cos\,\beta) - f(x_0, y_0)}{t}$
当 $P$ 沿着 $l$ 趋于 $P_0$ (即 $t \rightarrow 0^{+}$ ) 时的极限存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)}$ ，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = \underset{t\rightarrow 0^{+} }{lim}\frac{f(x_0 + t cos\,\alpha ,y_0 + t cos\,\beta) - f(x_0, y_0)}{t}$
从方向导数的定义可知，方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)}$ 就是函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处沿方向 $l$ 的变化率。

定理 1 如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 可微分，那么函数在该点沿任一方向 $l$ 的方向导数存在，且有
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = f_x(x_0, y_0)cos\, \alpha + f_y(x_0, y_0)cos\, \beta$
其中 $cos\, \alpha , cos\, \beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦。

8.2 梯度

设函数 $f(x, y)$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 $P_0(x_0, y_0) \in D$ ，都可以定出一个向量
$f_x(x_0, y_0)\mathbf {i} + f_y(x_0, y_0)\mathbf{j}$
这向量称为函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的梯度，记作 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 或 $\triangledown f(x_0, y_0)$ ，即 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0) = \triangledown f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)\mathbf {i} + f_y(x_0, y_0)\mathbf{j}$
其中 $\triangledown = \frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{j}$ 称为（二维的）向量微分算子或 $Nabla$ 算子， $\triangledown f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{j}$

如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 可微分， $e_l = (cos\, \alpha , cos\, \beta)$ 是与方向 $l$ 同向的单位向量，则
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = f_x(x_0, y_0)cos\, \alpha + f_y(x_0, y_0)cos\, \beta \\=\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0) \cdot e_l = |\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0) |cos\, \theta \tag{3}$
其中 $\theta$ 为 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 与 $e_l$ 之间的夹角。

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这一点的方向导数的关系：
(1) 当 $\theta = 0$ ，即方向 $e_l$ 与梯度 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 的方向相同时，函数 $f(x, y)$ 增加最快。此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 的模，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = |\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)|$
这个结果也表明，函数 $f(x, y)$ 在一点的梯度 $\mathbf {grad} \ f$ 是这样一个向量，它的方向是函数在这一点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。

(2) 当 $\theta = \pi$ ，即方向 $e_l$ 与梯度 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 的方向相反时，函数 $f(x, y)$ 减小最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = - |\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)|$

(3) 当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ ，即方向 $e_l$ 与梯度 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 的方向正交时，函数的变化率为零，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = |\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)|cos\,\theta = 0$

一般说来，二元函数 $z = f(x, y)$ 在几何上表示一个曲面，这曲面被平面 $z = c$ 所截的曲线在 $xOy$ 面上的投影称为函数 $z = f(x, y)$ 的等值线。若 $f_x, f_y$ 不同时为零，则等值线 $f(x,y) = c$ 上任一点 $P_0(x_0, y_0)$ 处的一个法向量为
$n = \frac{1}{\sqrt{f^{2}_x(x_0, y_0) + f^{2}_y(x_0, y_0)}}(f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0)) = \frac{\triangledown f(x_0, y_0)}{|\triangledown f(x_0, y_0)|}$
这表明函数 $z = f(x, y)$ 在一点 $(x_0, y_0)$ 的梯度 $\triangledown f(x_0, y_0)$ 的方向就是等值线 $f(x,y) = c$ 在这点的法线方向 $n$ ，而梯度的模 $|\triangledown f(x_0, y_0)|$ 就是沿这个法线方向的方向导数 $\frac{\partial f}{\partial n}$ ，于是有
$\triangledown f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial n} \mathbf {n}$

8.3 数量场及向量场

如果对于空间区域 $G$ 内的任一点 $M$ ，都有一个确定的数量 $f(M)$ ，则称在这空间区域 $G$ 内确定了一个数量场。一个数量场可用一个数量函数 $f(M)$ 来确定。如果与点 $M$ 对应的是一个向量 $F(M)$ ，则称在这个区域 $G$ 内确定了一个向量场。一个向量场可以用一个向量值函数 $F(M)$ 来确定，而
$F(M) = P(M) \mathbf {i} + Q(M) \mathbf {j} + R(M) \mathbf {k}$
其中 $P(M), Q(M), R(M)$ 是点 $M$ 的数量函数。

若向量场 $F(M)$ 是某个数量函数 $f(M)$ 的梯度，则称 $f(M)$ 是向量场 $F(M)$ 的一个势函数。并称向量场 $F(M)$ 为势场。

9. 多元函数的极值

定理 1（必要条件） 设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 具有偏导数，且在点 $(x_0, y_0)$ 处有极值，则有 $f_x(x_0, y_0) = 0,\quad f_y(x_0, y_0) = 0$

凡是能使 $f_x(x_0, y_0) = 0,\, f_y(x_0, y_0) = 0$ 同时成立的点 $(x_0, y_0)$ 称为函数 $z = f(x, y)$ 的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但函数的驻点不一定是极值点。

定理 2（充分条件） 设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f_x(x_0, y_0) = 0,\, f_y(x_0, y_0) = 0$ ，令
$f_{xx}(x_0, y_0) = A,\,f_{xy}(x_0, y_0) = B,\,f_{yy}(x_0, y_0) = C$
则 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处是否取得极值的条件如下：
(1) $AC-B^{2} > 0$ 时具有极值，且当 $A<0$ 时有极大值，当 $A>0$ 时有极小值；
(2) $AC-B^{2} < 0$ 时没有极值；
(3) $AC-B^{2} = 0$ 时可能有极值，也可能没有极值，还需要另做讨论。

在求函数的极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑。如果函数 $f(x, y)$
在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上必定能取得最大值和最小值。一般地，如果知道函数的最大值（最小值）一定在 $D$ 的内部取得，而函数在 $D$ 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的最大值（最小值）。

10. 二元函数的泰勒公式

**定理 ** 设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内连续且有直到 $(n+1)$ 阶的连续偏导数， $(x_0 + h, y_0 + k)$ 为此邻域内任一点，则有
$f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + (h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})f(x_0, y_0) + \\ \frac{1}{2!}(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{2}f(x_0, y_0) + \cdots + \frac{1}{n!}(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{n}f(x_0, y_0) + \\ \frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{n+1}f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k)\quad (0< \theta < 1) \tag{1}$
其中记号
$(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})f(x_0, y_0)\, 表示 \, h\,f_x(x_0, y_0) + k\,f_y(x_0, y_0)$
$(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{2}f(x_0, y_0)\, 表示 \, h^{2}\,f_{xx}(x_0, y_0) + 2hk\,f_{xy}(x_0, y_0) + k^{2}\,f_{yy}(x_0, y_0)$
一般地，记号
$(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{m}f(x_0, y_0) \, 表示 \, \sum_{p=0}^{m}C_m^{p}h^{p}k^{m-p}\frac{\partial ^{m}f}{\partial x^{p}\partial y^{m-p}}|_{(x_0, y_0)}$

当 $n= 0$ 时，公式 $(1)$ 成为
$f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + h\,f_x(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) +k\,f_y(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \tag{2}$
公式 $(2 )$ 称为二元函数的拉格朗日中值定理。

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