1. “好玩”的加拿大数学课
加拿大的小学，一切以好玩为上。万圣节大概是最好玩的一个节日，到了节前，学校的一切教学活动似乎都披上了南瓜色的纱巾，戴上了鬼鬼怪怪的面罩。语文也就罢了，数学课怎么跟万圣节挂钩呢？好办！做应用题。
我们小时候的数学应用题应该是：“红星农场一大队养了10头猪，二大队养了5头牛，三大队养了14头羊，一共有多少头牲畜？”加拿大小学生万圣节版的题目是：“16名女巫在煮汤。她们往汤里放了10个眼珠，10个香蕉，5颗糖和3只老鼠。汤里一共有多少样东西？”
除了算术，编程也是数学课的内容。小学低年级的编程并不学习编程语言，而重在培养图形化、程序化的逻辑思维。万圣节版的编程课上出现了一张充满了幽灵、南瓜、骷髅和巫师的图画，用九宫格分割开，横纵坐标轴上分别标上号码。题目则是“巫师在哪个格子”、“幽灵在哪个格子”之类，需要用坐标位置来回答，比如“巫师在2C”、“幽灵在3C”。
加拿大中小学只有省颁教学大纲，没有统一教材，教学内容和材料全凭老师自由选择。我不知道这样满溢出节日欢乐气氛的教学内容是我女儿班上这位老师的别出心裁还是普遍的流行做法。
好玩是肯定的，小朋友们对巫婆的汤准保比对红星农场的猪更有兴趣。不过，二年级了才做几道这样简单的加减法，是不是有点让人焦虑？
2. 值得解读的数学成绩
焦虑的不只是华人家长，对中小学数学成绩的不满是加拿大媒体长期关注的焦点。最近十多年，加拿大9年级学生在经合组织旗下的PISA国际学生评估项目中数学得分每况愈下。PISA每三年进行一次测试，评估全球几十个国家15岁学生阅读、数学、科学三个方面的素养，最近的一期是2018年。由于疫情影响，原定2021年的测试将推迟到2022年。
2018年的测试成绩中加拿大阅读成绩排名第6，在西方8国集团中位居榜首，但数学成绩却只能排到第12名，中值分数更是从2003年的532分一路下滑到了2018年的512分。面对这样的成绩，本地媒体不断对教育政策、教学大纲提出质疑，而素来以数学成绩自傲的华人家长更是对加拿大的数学教育大摇其头。
若是横向对比一下，更是令人揪心。在数学排行榜上前7名全是东亚经济体，中国（北京-上海-江苏-浙江）毫无悬念地高居榜首，新加坡排名第二，中国澳门和中国香港分列三、四名。PISA把测试成绩分为6等，最高的第6和第5两个等级没有任何国家入选，而这四个国家和地区被PISA列为第4等级。在次一等的第3等级中，中国台北、日本、韩国、爱沙尼亚、荷兰、波兰、瑞士均排在加拿大前面。
身为一名生活在加拿大的华人家长，我也不可免俗地为女儿接受的数学教育悬着心，并且跟许多朋友一样在课外给孩子开起了小灶，让她提前学习、提前练习。但这样做究竟是不是有效，究竟是不是合理？我心头始终有些疑问——如果用加拿大的教材提前学习，无非是早一点学，但学习内容的难度并没有增加，这样做有用吗？如果抛开加拿大的教材而采用中国的方法，那么国内教育界和媒体一直在反思题海战术，“双减”更是最近改革的主题，我们本已脱离了国内教育的“内卷”又为什么一定要主动投进那个染缸呢？
带着这些疑问，我仔细研究了一下PISA测试的内容和结果。
首先来看考试的题目。2012年的数学测试中有这样一组关于卖报纸的题目。
Z国有两份报纸同时登出了招聘销售人员的广告。
《星报》薪酬：每周如销售240份以内，每份付酬0.2元，超过240份的部分每份酬劳0.4元。
《日报》薪酬：每周固定工资60元，外加每售出一份报纸得0.05元。
第1题：弗莱德瑞克每周销售350份《星报》，他的平均周收入是多少？
第2题：克莉丝汀销售《日报》，某周得到74元。她在该周售出多少份报纸？
第3题：约翰决定去卖报纸，他需要在《星报》与《日报》之间做出选择。下列四图中哪一幅图正确表示了两份报纸的薪酬？
看完这组例题，各位家长有何感想？这不是当年PISA测试中最难的一题，也不是最简单的一题。不过，对于9年级的中国学生来说，这是不是有点简单得不像话？
来看一下PISA官方的说明。在一份2018年测试结果分析文档的前言中，PISA指出测试题目的设计重在解决实际问题，而不是重复课堂上学过的知识、概念。换句话说，数学测试的重点不是题目的难度，不是解题技巧的繁复，而是考查学生能否用数学概念来分析日常生活中的问题。
具体到这组卖报纸的题目，用到的数学知识无非加减乘除以及一点粗浅的平面坐标，但是这并非PISA出题的依据，真正的考点在于如何把报纸上的招聘广告翻译成数学语言。
对于任何学生来说，只要经过了足够多应用题的演练，这道题没有什么难度。而那些做不出这道题正确答案的9年级学生，我相信题目背后的数学算式是难不倒他们的，他们所缺乏的是做应用题的本事，或者说他们既没有在课堂上得到足够的练习也没有在日常生活中养成使用数学方法思考问题的习惯。
就解决问题的能力而言，PISA报告有44%的中国学生达到了5级的数学水平，也就是可以将复杂的生活场景翻译成数学模型并能选择合适的数学方法来解决问题。而在加拿大只有15%的学生达到这一水平。加拿大数学基础教育的问题显而易见。
反过来说，中国基础教育的问题在哪里呢？PISA测试的权威性是得到包括中国在内的世界各国承认的，而且其宗旨是考查学生解决实际问题的能力。如果说卖报纸这样的题目代表了经合组织所认为的学生应该具备的解决实际问题所需的数学知识，那么国内中小学教育中反复练习的高难度高技巧的题目意义何在？
在如今“双减”的大背景之下反思PISA为什么出这样“低难度”的题目，再结合普通人的日常工作和生活想想我们在校园以外遇到过多少比卖报纸更为复杂的数学问题，不难发现，中国基础教育中的反复操练仿佛只是为选拔而选拔，为增加难度而增加难度，从某种意义上讲也许是对社会资源和学生学习阶段宝贵时间的浪费。
3. 加法的8种做法
如果说PISA样题给了我们一些启示的话，我想中加两国不同的数学教育模式是可以相互取长补短的。对加拿大的华人家长来说，我们无疑拥有先天优势的资源，可以借鉴中国中小学教学中多练习多拓展的理念，弥补加拿大课堂数学练习的不足。对于国内“双减”时代的家长，加拿大的数学理念可以作为一个有益的参考，帮助我们思考不再补课之后、不再完全以应试择优为目的的数学学习应该往何处去。
不妨看看我女儿二年级的数学课堂练习——8+9和10+11。只看这两道题目实在很容易让人从心底生出一些不良情绪：二年级还在做这么简单的加法，而且这两道题不是三十道、五十道口算家庭作业的一部分，反而是一整节数学课的内容，怎么不让人恼火？
可是细看之下我发现这样的教学安排并非毫无可取之处，因为其理念强调的不是熟能生巧式的机械记忆，而是重在传递数学思维和介绍实用方法。
这两道简单的加法，老师要求用8种不同的方法来做。
第一种方法估计要让人笑掉大牙——掰手指。虽然浅显，但从具象到抽象建立数的概念掰手指是一个重要的过程。二年级的孩子显然已经不需要依靠数数的办法来做加法了，但老师却并不把这种最原始的方法任意抛弃，也许是想加强对数的概念的理解吧。
第二、三两种方法称为“双倍加”和“双倍减”，二者其实是一回事。双倍这个概念从幼儿园到小学已经学习过多次，在双倍的基础上增减就可以快速做出很多不同数字组合的加法。比如现在要做的8+9。学生已经非常熟悉8+8=16，9+9=18，那么做8+9时就可以分解为(8+8)+1或(9+9)-1。
第四种是心算，其实不能称为一种方法，只是对二年级学生计算能力的一个要求。
第五种方法很有意思，引入了数轴的概念。比如下图所示，计算5+4时先在一根直线上画上5个距离相等的点，代表5，然后往右数4个点，代表+4。虽然这个方法跟掰手指数数十分类似，但数字概念的图像化是数学思维方式的一个组成部分。
用这种方法不但可以做加法还可以很轻松地做减法，只要把数数的方向由从左向右变为从右向左就可以了。一旦建立起数轴和方向的概念，进一步就可以很容易地拓展成坐标的概念，可以很直观地引入负数的概念。
在我们的理念当中，学习需要循序渐进，我们脑子里有一些固有的思维定势，哪些概念属于基础的、简单的，哪些属于高深的、复杂，因此在我们所习惯的教学进度表中，掰手指和数轴一般不会出现在同一堂课上。
而加拿大的理念似乎有些不同，他们既不介意把相对较难的概念用浅显的语言较早地介绍给学生，让他们由浅入深反复练习如何使用这些方法，也不认为重复以前学习过的最基础的方法是浪费时间。
第六种方法类似于掰手指，不过把手指换成了积木、玻璃珠之类的具体物体。
第七种方法是红白算珠，这种方法跟中国的算盘有类似之处，都可以用多行算珠来进行多位数的计算。
第八种方法就是我们在统计时常用的划“正”字的方法，一个“正”字正好五划，两个“正”字就是10。英文中当然没有“正”字，用短划线来代替。
4. “探索式数学”
一个简单的加法为什么要用这么多不同的方法来做？只要记住加法的一般规律、反复练习不就行了吗？加拿大这种教学方法的背后是一种叫做“探索式数学”的教学理念。
“探索式数学”作为一种新的教学方法自1980年代开始逐渐进入加拿大中小学，安省2005年的教学大纲已经全面采用了这种方法。自从这种教学方法普及开来，加拿大学生的数学成绩也出现了下行的趋势。单从时间轴上的相关性来看，很容易把数学成绩的下降归罪于“探索式数学”，这也是加拿大政界、教育界一直争论不休的一个话题。但二者之间是不是真的有因果关系呢？
首先需要了解一下究竟什么是“探索式数学”。与之相对的是我们熟悉的“传统式数学”，在教学过程中首先介绍一个数学概念，引入一个公式、定理，学生学习之后套用公式反复演算，最后能够牢固掌握基础知识点。而“探索式数学”则相反，它首先抛给学生一个全新的问题，引导学生自己想办法解决这个问题，在学生思考的过程中老师再逐步把既有的数学概念和知识介绍给学生。
换句话说，“传统式数学”是先学公式再练习用公式解决问题，而“探索式数学”是先尝试解决问题再在解决未知问题的探索性思维过程中学习公式。
一位在加拿大攻读教师学院准备在加拿大当中小学老师的华人留学生在一篇网文中记录了她观摩的一堂三年级数学课。课堂上老师让孩子们自己讨论奇数偶数的问题。一个男孩认为6既是奇数又是偶数。他到黑板上画了6个圈，然后把它们两个一组分成3组。他说：6可以两两分组，所以是偶数，但是我把它们分成了3组，3是奇数，所以6既是奇数又是偶数。
班上同学都不同意他的看法，几个学生纷纷上台用各自不同的角度、方法向这名同学解释为什么他们不同意6是奇数，但都没能说服这位“有思想”的男孩。最后，一名女同学在黑板上模仿那名男孩的做法画了10个圈，再把它们两两分组得到5组，她问男孩：5也是奇数，10个圈可以两两分成5组，那你能说10也是奇数吗？这招“以子之矛攻子之盾”奏效了，男孩摸着头笑了。
这就是一名在“传统式数学”环境中成长起来的中国留学生对于加拿大“探索式数学”教学方法的观察。这位教师学院留学生最后引用了她老师的话来总结她对这种教学方法的理解：“我们必须记住，我们的学生比我们聪明，我们必须明白他们聪明在哪些地方，必须让他们的聪明表现出来。我们不能只讲知识只做题，我们必须要明白每个孩子是怎么想的。”
在加拿大各界的论战中，对“探索式数学”的诟病主要集中在基础数学知识不够扎实，强调对思维过程的引导固然重要，但却在一定程度上减弱了对基础数学知识、公式定理的记忆。
从2020年开始，安省修订了数学教学大纲，把对乘法表等基础数学知识的记忆重新加入到教学要求中。许多人认为这标志着“探索式数学”的失败，中小学教学要回归“传统”。其实，仔细阅读新版教学大纲就会发现“探索式数学”的那些理念并没有消失，只是把“传统式数学”中的某些合理内容囊括了进去。这样的变革并不是简单的抛弃和回归，更像是一次纠偏，或者说是一次取长补短——对两种教学方法的优点兼容并包。
对于国内的老师和家长来说，“探索式数学”的理念几乎是全新的，但这种方法所追求的目标我们却并不陌生，那就是重视独立思维的训练，重视创新能力的培养。如果“双减”能让我们的教育加速步入培养能力的轨道，加拿大的这种教学方法颇有值得借鉴之处。
5. 分数之外
除了能力的培养，教育更重要的目标是人格的培养，是对个人天性的解放和扶植，是帮助学生找到人生的方向。数学教育在这个维度上的得失也值得我们思考。
PISA对学生的评估除了阅读、数学、科学成绩的测试之外还有对于校园环境、学生生活、职业兴趣等“软实力”的分析。
首先，PISA对于教育中性别平等的问题给予了特别的关注。在2018年参与PISA评测的所有国家和地区中，男孩的数学成绩比女孩平均高出5分。加拿大的男女生分数差跟平均水平一致，而中国男生则要比女生高出11分。不知道这是不是国内数学教育过于偏重技巧造成的结果。
另一个有意思的现象是学生对未来职业发展的考虑。在加拿大，数学和科学成绩好的学生当中，1/3的男孩希望自己在30岁时从事工程或科技工作，而中国只有1/7男孩愿意。两国的女孩在这方面差距倒是不大：加拿大为1/7数学而中国为1/10。具有科学家和工程师潜质的孩子里面有那么多人不愿意从事科学工作，这是否也从一个侧面说明教育中存在的问题呢？
至于个人未来的发展，PISA在测试的问卷调查部分有一个问题是专门评估学生“成长思维”的。“你的智力是你无法改变的东西”，否认这个陈述代表学生具有一定的“成长思维”，因为他们认为可以通过自己的努力使自己的能力得到发展。在加拿大，68%的学生具有这样的“成长思维”，而中国只有56%。
教育不只是为了得高分，不只是为了“选拔人才”，教育更重要的目的是让每个个体都能拥有充分发展自己潜力的机会。那么，将近一半的中国学生看不到自己成长和发展的希望，这是不是也是我们教育的一个大问题呢？
如果回到培养人、激发人的潜力这一教育的根本目的，从这个角度来考察加拿大的中小学数学教育，给学生足够的时间去分析讨论那些我们认为无需讨论的简单问题、给学生学习的自由让他们按照自己的节奏去学习探索和发现这个世界的方法，这对“双减”时代的中国老师和家长也是有借鉴意义的吧。
