决策树中的信息增益、信息增益比和基尼系数

前面的信息论已经简单介绍了信息熵的概念。在决策树算法中，也使用到了信息增益来构建决策树。下面会通过一个通俗的例子理解信息增益与信息增益率。

信息增益 information gain

在决策树算法中，存在多个特征，那么在生成决策树时优先选取哪个特征呢? 这就是由信息增益说了算。信息增益高，说明该特征比较重要，因为它带来的信息量变化大。

信息增益的公式如下，即 信息熵-条件熵

$\operatorname{Gain}(D, a)=H(D)-H(D|a)$

以下是具体的例子：

以上总共有17个数据，D表示第k类样本所占比例，这里k为2，即是否为好瓜。好瓜的比例 $p1=\frac{8}{17}$ 不好的瓜的比例是 $p1=\frac{7}{17}$ 。

1. 信息熵 $H(D)= -\sum_{k=1}^{2} p_{k} \log _{2} p_{k}=-\left(\frac{8}{17} \log _{2} \frac{8}{17}+\frac{9}{17} \log _{2} \frac{9}{17}\right)=0.998$

2.色泽的条件熵

我这里想计算色泽的信息增益，于是我还需要计算色泽的条件熵

条件概率公式为 $\begin{aligned} \mathrm{H}(Y | X) & \equiv \sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) \mathrm{H}(Y | X=x) \\ &=-\sum_{x \in \mathcal{X}} p(x) \sum_{y \in \mathcal{Y}} p(y | x) \log p(y | x) \\ &=-\sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{y \in \mathcal{Y}} p(x, y) \log p(y | x) \end{aligned}$

这里色泽为{青绿、乌黑、浅白}

青绿色总共有6个，其中正例为3/6,反例为3/6 $H\left(D^{1},青绿色\right)=-\left(\frac{3}{6} \log _{2} \frac{3}{6}+\frac{3}{6} \log _{2} \frac{3}{6}\right)=1.000$

乌黑的总共有6个，其中正例为4/6,反例为2/6

$H\left(D^{2},乌黑\right) =-\left(\frac{4}{6} \log _{2} \frac{4}{6}+\frac{2}{6} \log _{2} \frac{2}{6}\right)=0.918$

浅白的总共有5个，其中正例为1/5,反例为4/5

$H\left(D^{3},浅白\right) =-\left(\frac{1}{5} \log _{2} \frac{1}{5}+\frac{4}{5} \log _{2} \frac{4}{5}\right)=0.722$

色泽的条件熵

$H(D|色泽) = \sum_{x=1}^3p(x) H(D|x)=\frac{6}{17} \times 1.000+\frac{6}{17} \times 0.918+\frac{5}{17} \times 0.722=0.889$

3. 色泽的信息增益

$\operatorname{Gain}(D, 色泽)=H(D)-H(D|色泽) = 0.998-0.889=0.109$

同理，可以计算出其他特征的信息增益

$\operatorname{Gain}(D, 根蒂)=0.143$ $\operatorname{Gain}(D, 敲声)=0.141$ $\operatorname{Gain}(D, 纹理)=0.381$

$\operatorname{Gain}(D,脐部)=0.289$ $\operatorname{Gain}(D, 触感)=0.006$

可见纹理的信息增益最大，即在以上几个特征中，纹理的信息会比较大的影响一个瓜的好坏。在决策树算法中，则会优先选择该特征作为当前节点。

信息增益率 gain ratio

实际上，信息增益会偏好于取值数目较多的属性，而信息增益率能够避免这个影响。其公式如下

$G i n i(p)=\sum_{k=1}^{K} p_{k}\left(1-p_{k}\right)=1-\sum_{k=1}^{K} p_{k}^{2}$ $\text { Gain ratio }(D, a) = \frac{\operatorname{Gain}(D, a)}{\operatorname{IV}(a)}$

其中 $\mathrm{IV}(a)=-\sum_{v=1}^{V} \frac{\left|D^{v}\right|}{|D|} \log _{2} \frac{\left|D^{v}\right|}{|D|}$ 被称为属性a的固有值 intrinstic value.

属性a的取值数量越多，则 $IV(a)$ 的值通常会更大

$IV(色泽) = -(\frac{6}{17}\log_2 \frac{6}{17} + \frac{6}{17}\log_2 \frac{6}{17} +\frac{5}{17}\log_2 \frac{5}{17} )= 0.15798$

$\text { Gain ratio }(D, 色泽) = \frac{\operatorname{Gain}(D, 色泽)}{\operatorname{IV}(色泽)}=\frac{0.109}{0.15798}=0.6899$

基尼指数 Gini index

不管是信息增益还是信息增益率，都存在大量的对数运算，而在Cart的决策树算法中，就是使用基尼系数来表示信息的纯度，因为它在简化模型计算的同时又保留了信息熵的特性。

对于分类问题，如果数据集 $D$ 有k个分类，并且第k个分类的概率为 $p_{k}$ ,数据集D的纯度可以用基尼值来度量，则其基尼指数为：

$G i n i(p)=\sum_{k=1}^{K} p_{k}\left(1-p_{k}\right)=1-\sum_{k=1}^{K} p_{k}^{2}$

$Gini(D)$ 反映的是从D中随机抽取两个样本，其类别标记为不一致的概率； $Gini(D)$ 越小，数据纯度越高。

对于样本D，如果根据特征a有v种可能，则其基尼指数为

$Gini(D,a) = \sum_{v=1}^{V} \frac{\left|D^{v}\right|}{|D|} \operatorname{Gini}\left(D^{v}\right)$

在特征选取中，会优先选择基尼指数最小的属性作为优先划分属性

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决策树中的信息增益、信息增益比和基尼系数

信息增益 information gain

信息增益率 gain ratio

基尼指数 Gini index

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