线代有个很难理解的知识点，即同一特征值的线性无关特征向量个数要小于等于特征值重数。
这个结论是怎么来的呢？本文用最朴素的证明来帮助大家弄懂这个知识点（结论推导所用的都是基础的线代知识，只是有些数学式子比较复杂，认真看完，理解很容易，相信自己！）。
a.首先一起看下会用到的两个tips：
tip 1：一定可以找到n个线性无关的n维向量，且它们可以表示任何一个n维向量
比如2维向量：能找到 和
两个线性无关的向量，能表示二维平面里面的所有向量。
3维向量：能找到，
，
三个线性无关的向量，能表示三维立体空间里面的所有向量。
例图
tip 2：来计算一下某种行列式的值
n阶行列式：
具有某种规律的行列式（其中m＜n）
以5阶为例，一起来找规律。
找规律
由此可见，其行列式的值都是x的某次方乘以一堆式子。
于是我们将此规律扩展到n维：
拓展到n维（为了方便，将后面的常数用*代替）
至此两个需要用到的tips讲完了，接着开始证明。
b.准备就绪，开始证明：
设A为n阶矩阵，是它特征值（重根），
~
分别为其m个线性无关的特征向量。所以我们所要证明的就是
的重数要≥m
证明：
1.构造一个n阶可逆矩阵P：
由于 ~
为n维向量，所以一定能找到
~
，使
~
线性无关且可以表示任何一个n维向量（根据前面tip 1得到的）.
因此可以构造出一个n阶可逆矩阵
2.A左乘可逆矩阵P：
由特征值与特征向量的关系：得
又因为： 的结果为n维向量（i=m+1，m+2，…，n）
所以 的结果可以用
~
线性表示出来（根据tip 1得到的），即：
2.把AP的结果用矩阵表示：
所以就有：
3.减去
后，取行列式 ：
左边：
右边：
即得：
最后取行列式得：
左边：
右边：根据之前的tip 2得：
即得：
所以可以得到 至少为m重根，为什么至少呢？因为有可能后面乘以的一堆式子中可以提取出若干个
出来，所以用至少这个词。
到此为止，我们得到想证的的重数要≥m，命题成立。
