第二章神经网络优化
2.1预备知识
1.tf.where():条件语句真返回A，条件语句假返回B,tf.where(条件语句，真返回A，假返回B),举例如下：
a=tf.constant([1,2,3,1,1])
b=tf.constant([0,1,3,4,5])
c=tf.where(tf.greater(a,b), a, b) #若a>b，返回a对应位置的元素，否则返回b对应位置的元素
print("c:",c)
结果如下：
c: tf.Tensor([1 2 3 4 5], shape=(5,), dtype=int32)
- np.random.RandomState.rand():返回一个[0,1)之间的随机,np.random.RandomState.rand(维度)#维度为空，返回标量,举例如下：
import numpy as np
rdm=np.random.RandomState(seed=1) #seed=常数每次生成随机数相同
a=rdm.rand() # 返回一个随机标量
b=rdm.rand(2,3) #返回维度为2行3列随机数矩阵
print("a:",a)
print("b:",b)
结果如下：
a: 0.417022004702574
b: [[7.20324493e-01 1.14374817e-04 3.02332573e-01]
[1.46755891e-01 9.23385948e-02 1.86260211e-01]]
- np.vstack():将两个数组按垂直方向叠加,np.vstack(数组1，数组2),举例如下：
import numpy as np
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([4,5,6])
c = np.vstack((a,b))
print("c:\n",c)
结果如下：
c:
[[1 2 3]
[4 5 6]]
4.np.mgrid[ ] .ravel( ) np.c_[ ]
np.mgrid[起始值:结束值:步长，起始值:结束值:步长 , ... ]
x.ravel() 将x变为一维数组，“把.前变量拉直”
np.c_[ ] 使返回的间隔数值点配对: np.c_[ 数组1，数组2， ... ]
举例如下：
import numpy as np
x, y = np.mgrid [1:3:1, 2:4:0.5]
grid = np.c_[x.ravel(), y.ravel()]
print("x:",x)
print("y:",y)
print('grid:\n', grid)
结果如下：
x = [[1. 1. 1. 1.] [2. 2. 2. 2.]]
y = [[2. 2.5 3. 3.5] [2. 2.5 3. 3.5]]
grid:
[[1. 2. ] [1. 2.5] [1. 3. ] [1. 3.5] [2. 2. ] [2. 2.5] [2. 3. ] [2. 3.5]]
2.2复杂度和学习率
时间复杂度：模型的运算次数
空间复杂度：总参数量 + 各层输出特征图。
指数衰减学习率
可以先用较大的学习率，快速得到较优解，然后逐步减小学习率，使 模型在训练后期稳定。
指数衰减学习率 = 初始学习率 * 学习率衰减率( 当前轮数 / 多少轮衰减一次 )，实现代码如下：
import tensorflow as tf
w = tf.Variable(tf.constant(5, dtype=tf.float32))
epoch = 40
LR_BASE = 0.2 # 最初学习率
LR_DECAY = 0.99 # 学习率衰减率
LR_STEP = 1 # 喂入多少轮BATCH_SIZE后，更新一次学习率
for epoch in range(epoch): # for epoch 定义顶层循环，表示对数据集循环epoch次，此例数据集数据仅有1个w,初始化时候constant赋值为5，循环100次迭代。
lr = LR_BASE * LR_DECAY ** (epoch / LR_STEP)
with tf.GradientTape() as tape: # with结构到grads框起了梯度的计算过程。
loss = tf.square(w + 1)
grads = tape.gradient(loss, w) # .gradient函数告知谁对谁求导
w.assign_sub(lr * grads) # .assign_sub 对变量做自减 即：w -= lr*grads 即 w = w - lr*grads
print("After %s epoch,w is %f,loss is %f,lr is %f" % (epoch, w.numpy(), loss, lr))
2.3激活函数
激活函数是用来加入非线性因素的，因为线性模型的表达能力不够。引入非线性激活函数，可使深层神经网络的表达能力更加强大。
优秀的激活函数应满足:
非线性: 激活函数非线性时，多层神经网络可逼近所有函数
可微性: 优化器大多用梯度下降更新参数
单调性: 当激活函数是单调的，能保证单层网络的损失函数是凸函数
近似恒等性:当参数初始化为随机小值时，神经网络更稳定
激活函数输出值的范围: 激活函数输出为有限值时，基于梯度的优化方法更稳定 激活函数输出为无限值时，建议调小学习率
下面给出几种常用的激活函数
一.sigmoid
函数图像
导数图像
使用：tf.nn.sigmoid(x)
优点:
1.输出映射在(0,1)之间，单调连续，输出范围有限，优化稳定，可用作输出层;
2.求导容易。
缺点：
1.易造成梯度消失;
2.输出非0均值，收敛慢;
3.幂运算复杂，训练时间长。
igmoid函数可应用在训练过程中。然而，当处理分类问题作出输出时，sigmoid却无能为力。简 单地说，sigmoid函数只能处理两个类，不适用于多分类问题。而softmax可以有效解决这个问题，并且softmax函数大都运用在神经网路中的最后一层网络中，使得值区间在(0,1)之间，而不是二分类的。
二.tanh
函数图像
导数图像
使用：tf.math.tanh(x)
优点：
- 比sigmoid函数收敛速度更快。
2.相比sigmoid函数，其输出以0为中心。
缺点
1.易造成梯度消失;
2.幂运算复杂，训练时间长。
三.ReLU
函数图像
导数图像
使用：tf.nn.relu
优点：
1.解决了梯度消失问题(在正区间);
2.只需判断输入是否大于0，计算速度快;
3.收敛速度远快于sigmoid和tanh，因为sigmoid和tanh涉及很多expensive的操作;
4.提供了神经网络的稀疏表达能力。
缺点：
1.输出非0均值，收敛慢;
2.Dead ReLU问题:某些神经元可能永远不会被激活，导致相应的参数永远不能被更新。
四.Leaky ReLU
函数图像
导数图像
使用：tf.nn.leaky_relu
理论上来讲，Leaky ReLU有ReLU的所有优点，外加不会有Dead ReLU问题，但是在实际操作当中，并没有完全证明Leaky ReLU总是好于ReLU。
五.softmax
使用：tf.nn.softmax
对神经网络全连接层输出进行变换，使其服从概率分布，即每个值都位于[0,1]区间且和为1。
2.4损失函数
神经网络模型的效果及优化的目标是通过损失函数来定义的。
1.均方误差损失函数：
loss_mse = tf.reduce_mean(tf.square(y_ - y))
2.自定义损失函数：
loss = tf.reduce_sum(tf.where(tf.greater(y, y_), (y - y_) * COST, (y_ - y) * PROFIT))
3.交叉熵损失函数:
交叉熵(Cross Entropy)表征两个概率分布之间的距离，交叉熵越小说明二者分布越接近，是分类问题中使用较广泛的损失函数。
import tensorflow as tf
loss_ce1 = tf.losses.categorical_crossentropy([1, 0], [0.6, 0.4])
loss_ce2 = tf.losses.categorical_crossentropy([1, 0], [0.8, 0.2])
print("loss_ce1:", loss_ce1)
print("loss_ce2:", loss_ce2)
softmax与交叉熵相结合
import tensorflow as tf
import numpy as np
y_ = np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]])
y = np.array([[12, 3, 2], [3, 10, 1], [1, 2, 5], [4, 6.5, 1.2], [3, 6, 1]])
y_pro = tf.nn.softmax(y)
loss_ce1 = tf.losses.categorical_crossentropy(y_,y_pro)
loss_ce2 = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(y_, y)
print('分步计算的结果:\n', loss_ce1)
print('结合计算的结果:\n', loss_ce2)
2.5缓解过拟合
欠拟合的解决方法:
增加输入特征项
增加网络参数
减少正则化参数
过拟合的解决方法:
数据清洗
增大训练集
采用正则化
增大正则化参数
2.6优化器
定义：待优化参数，损失函数
，学习率
，每次迭代一个batch，t表示当前batch迭代的总次数:
步骤
一。SGD(无momentum),常用的梯度下降法
SGD
代码实现：
# 利用鸢尾花数据集，实现前向传播、反向传播，可视化loss曲线
# 导入所需模块
import tensorflow as tf
from sklearn import datasets
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import time ##1##
# 导入数据，分别为输入特征和标签
x_data = datasets.load_iris().data
y_data = datasets.load_iris().target
# 随机打乱数据（因为原始数据是顺序的，顺序不打乱会影响准确率）
# seed: 随机数种子，是一个整数，当设置之后，每次生成的随机数都一样（为方便教学，以保每位同学结果一致）
np.random.seed(116) # 使用相同的seed，保证输入特征和标签一一对应
np.random.shuffle(x_data)
np.random.seed(116)
np.random.shuffle(y_data)
tf.random.set_seed(116)
# 将打乱后的数据集分割为训练集和测试集，训练集为前120行，测试集为后30行
x_train = x_data[:-30]
y_train = y_data[:-30]
x_test = x_data[-30:]
y_test = y_data[-30:]
# 转换x的数据类型，否则后面矩阵相乘时会因数据类型不一致报错
x_train = tf.cast(x_train, tf.float32)
x_test = tf.cast(x_test, tf.float32)
# from_tensor_slices函数使输入特征和标签值一一对应。（把数据集分批次，每个批次batch组数据）
train_db = tf.data.Dataset.from_tensor_slices((x_train, y_train)).batch(32)
test_db = tf.data.Dataset.from_tensor_slices((x_test, y_test)).batch(32)
# 生成神经网络的参数，4个输入特征故，输入层为4个输入节点；因为3分类，故输出层为3个神经元
# 用tf.Variable()标记参数可训练
# 使用seed使每次生成的随机数相同（方便教学，使大家结果都一致，在现实使用时不写seed）
w1 = tf.Variable(tf.random.truncated_normal([4, 3], stddev=0.1, seed=1))
b1 = tf.Variable(tf.random.truncated_normal([3], stddev=0.1, seed=1))
lr = 0.1 # 学习率为0.1
train_loss_results = [] # 将每轮的loss记录在此列表中，为后续画loss曲线提供数据
test_acc = [] # 将每轮的acc记录在此列表中，为后续画acc曲线提供数据
epoch = 500 # 循环500轮
loss_all = 0 # 每轮分4个step，loss_all记录四个step生成的4个loss的和
# 训练部分
now_time = time.time() ##2##
for epoch in range(epoch): # 数据集级别的循环，每个epoch循环一次数据集
for step, (x_train, y_train) in enumerate(train_db): # batch级别的循环 ，每个step循环一个batch
with tf.GradientTape() as tape: # with结构记录梯度信息
y = tf.matmul(x_train, w1) + b1 # 神经网络乘加运算
y = tf.nn.softmax(y) # 使输出y符合概率分布（此操作后与独热码同量级，可相减求loss）
y_ = tf.one_hot(y_train, depth=3) # 将标签值转换为独热码格式，方便计算loss和accuracy
loss = tf.reduce_mean(tf.square(y_ - y)) # 采用均方误差损失函数mse = mean(sum(y-out)^2)
loss_all += loss.numpy() # 将每个step计算出的loss累加，为后续求loss平均值提供数据，这样计算的loss更准确
# 计算loss对各个参数的梯度
grads = tape.gradient(loss, [w1, b1])
# 实现梯度更新 w1 = w1 - lr * w1_grad b = b - lr * b_grad
w1.assign_sub(lr * grads[0]) # 参数w1自更新
b1.assign_sub(lr * grads[1]) # 参数b自更新
# 每个epoch，打印loss信息
print("Epoch {}, loss: {}".format(epoch, loss_all / 4))
train_loss_results.append(loss_all / 4) # 将4个step的loss求平均记录在此变量中
loss_all = 0 # loss_all归零，为记录下一个epoch的loss做准备
# 测试部分
# total_correct为预测对的样本个数, total_number为测试的总样本数，将这两个变量都初始化为0
total_correct, total_number = 0, 0
for x_test, y_test in test_db:
# 使用更新后的参数进行预测
y = tf.matmul(x_test, w1) + b1
y = tf.nn.softmax(y)
pred = tf.argmax(y, axis=1) # 返回y中最大值的索引，即预测的分类
# 将pred转换为y_test的数据类型
pred = tf.cast(pred, dtype=y_test.dtype)
# 若分类正确，则correct=1，否则为0，将bool型的结果转换为int型
correct = tf.cast(tf.equal(pred, y_test), dtype=tf.int32)
# 将每个batch的correct数加起来
correct = tf.reduce_sum(correct)
# 将所有batch中的correct数加起来
total_correct += int(correct)
# total_number为测试的总样本数，也就是x_test的行数，shape[0]返回变量的行数
total_number += x_test.shape[0]
# 总的准确率等于total_correct/total_number
acc = total_correct / total_number
test_acc.append(acc)
print("Test_acc:", acc)
print("--------------------------")
total_time = time.time() - now_time ##3##
print("total_time", total_time) ##4##
# 绘制 loss 曲线
plt.title('Loss Function Curve') # 图片标题
plt.xlabel('Epoch') # x轴变量名称
plt.ylabel('Loss') # y轴变量名称
plt.plot(train_loss_results, label="$Loss$") # 逐点画出trian_loss_results值并连线，连线图标是Loss
plt.legend() # 画出曲线图标
plt.show() # 画出图像
# 绘制 Accuracy 曲线
plt.title('Acc Curve') # 图片标题
plt.xlabel('Epoch') # x轴变量名称
plt.ylabel('Acc') # y轴变量名称
plt.plot(test_acc, label="$Accuracy$") # 逐点画出test_acc值并连线，连线图标是Accuracy
plt.legend()
plt.show()
SGD：
w1.assign_sub(learning_rate * grads[0])
b1.assign_sub(learning_rate * grads[1])
二：SGDM，在SGD基础上增加一阶动量。
SGDM
SGDM：
m_w, m_b = 0, 0
beta = 0.9
m_w = beta * m_w + (1 - beta) * grads[0]
m_b = beta * m_b + (1 - beta) * grads[1]
w1.assign_sub(lr * m_w)
b1.assign_sub(lr * m_b)
三：Adagrad,在SGD基础上增加二阶动量
Adagrad
Adagrad：
v_w += tf.square(grads[0])
v_b += tf.square(grads[1])
w1.assign_sub(learning_rate * grads[0] / tf.sqrt(v_w))
b1.assign_sub(learning_rate * grads[1] / tf.sqrt(v_b))
四：RMSProp,在SGD基础上增加二阶动量
RMSProp
RMSProp：
beta = 0.9
v_w = beta * v_w + (1 - beta) * tf.square(grads[0])
v_b = beta * v_b + (1 - beta) * tf.square(grads[1])
w1.assign_sub(learning_rate * grads[0] / tf.sqrt(v_w))
b1.assign_sub(learning_rate * grads[1] / tf.sqrt(v_b))
五：Adam，同时结合SGDM一阶动量和RMSProp二阶动量
Adam
Adam：
m_w, m_b = 0, 0
v_w, v_b = 0, 0
beta1, beta2 = 0.9, 0.999
delta_w, delta_b = 0, 0
global_step = 0
m_w = beta1 * m_w + (1 - beta1) * grads[0]
m_b = beta1 * m_b + (1 - beta1) * grads[1]
v_w = beta2 * v_w + (1 - beta2) * tf.square(grads[0])
v_b = beta2 * v_b + (1 - beta2) * tf.square(grads[1])
m_w_correction = m_w / (1 - tf.pow(beta1, int(global_step)))
m_b_correction = m_b / (1 - tf.pow(beta1, int(global_step)))
v_w_correction = v_w / (1 - tf.pow(beta2, int(global_step)))
v_b_correction = v_b / (1 - tf.pow(beta2, int(global_step)))
w1.assign_sub(lr * m_w_correction / tf.sqrt(v_w_correction))
b1.assign_sub(lr * m_b_correction / tf.sqrt(v_b_correction))
