另外一类存在性定理处理了狄利克雷问题，即用直接方法或用狄利克雷原理的方法建立ΔV=0的解的存在性。1870年，魏尔斯特拉斯的学生施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz,1843-1921）给出了二维狄利克雷问题（但不是极小化狄利克雷积分的狄利克雷原理）的第一个存在性证明。1892年他接替了老师魏尔斯特拉斯在柏林大学的教授职务。受老师提示，他在关于边界曲线的普遍假设下，利用所谓交替法证明了解的存在性。

同年，C.G.诺伊曼用算术平均法给出了三维狄利克雷问题的解的另一个存在性证明。他也没使用狄利克雷原理。后来庞加莱用扫除法(sweeping out)，造出一系列在区域R上不调和、但取正确边值的函数，这些函数变得越来越调和。最后希尔伯特重建了汤姆森（应该是指开尔文）和狄利克雷的变分法，并建立了狄利克雷原理作为证明存在性的一个方法。1899年希尔伯特证明在区域、边值和允许函数的适当条件下，狄利克雷原理确实成立。他使狄利克雷原理成为复函数论的有力工具，在1904年的出版物（包含了1901年的工作）中给出了更一般的条件。

狄利克雷原理的历史值得一提：格林、狄利克雷、开尔文等人认为这个原理是完全可靠的，并自由使用，后来黎曼在复变函数论中用它得到重要结果，并认为它是很了不起的工具，不过他们都知道基本的存在性问题还没得到解决，早在魏尔斯特拉斯批判狄利克雷原理之前，他已经怀疑这个方法几十年了。最后天降大神希尔伯特拯救、利用并扩充了这一原理，如果希尔伯特不出现，那位势理论跟函数论中的很多研究就没得搞了。

拉普拉斯方程ΔV=0是椭圆型微分方程的基本形式，对更一般的椭圆型微分方程如建立了许多存在性定理。其中一个关键结果是皮卡（Picard)对充分小区域证明了方程解的存在性和唯一性（已给定解在边界上的值）。皮卡和其他人把结果扩充到多变量、大区域和其它方面。皮卡还证明如果方程系数是解析的，方程在求解区域内仅具有解析解（即使给定非解析的边界值）。

前面讨论的定理已一般地处理了解析微分方程、解析初值或边界条件，但这些条件局限性比较大，因为物理数据可能不是解析的。另外一大类定理处理不太严格的条件，比如应用于双曲方程的黎曼方法依赖于特征函数v的存在性，但是黎曼没证明。1889年杜布瓦雷蒙(Du Bois—Reymond)对此寻找适当条件并得到了结果，其中x=常数和y=常数都是特征：如果沿曲线AB给出连续函数u和u对法向的偏导，即任何特征线与曲线AB交点不多于1个，则微分方程存在并只有唯一解u，它沿AB取u与δu/δn的给定值（曲面u(x,y)以给定斜率通过一给定空间曲线）。这个解定义在过A与过B特征所确定的矩形上（解或曲面包含在两条相交的空间曲线所确定的空间内）。另外，如果连续函数u在两特征线段上的值给定，u在特征所确定的矩形上也是唯一确定的。

19世纪后半叶大量工作是证明区域D中Δu+k^2u=0的特征值的存在性，主要结果是对已给区域和任意一个边界条件u=0，δu/δn=0或δu/δn+hu=0，总有k^2的无穷多个离散值，每个值有一个解。在二维情形下，如果方程是沿边界振动的薄膜振动的运动方程，k的值是无穷多个纯粹谐振的频率，而相应解是薄膜在实现特征振动时的变形。施瓦茨首先证明Δu+ξf(x,y)u=0的第一个特征函数的存在性，即证明存在一个U1使，在所考虑区域的边界上U1=0。他的方法给出了求解步骤和计算第一个特征值的方法。后来皮卡找出了第二个特征值的存在性。施瓦茨在1885年的论文中还指出区域连续变化时，第一特征值也连续变化，区域变小时特征值无限增大，这样较小的膜发出较高的第一陪音。

1894年庞加莱证明了Δu+λu=f在一个有界三维区域内所有特征值的存在性及其基本性质，其中λ是复数，在区域边界u=0，他使用推广的施瓦茨方法证明了u的存在性。其次他证明u(λ)是复变数λ的整函数，其极点是实的特征值λn，并得到特征解Ui，在内部，在边界上Ui=0。其物理意义是，Δu+λu=f是一个振动系统方程，被振幅为f的周期力激发，其特征解是系统的自由振动，一次激发后就无限持续下去，这些自由振动的频率与ki成比例，根据庞加莱的计算，它们就是对应于强迫振动u变为无穷的那些根号λ值。

19世纪末关于偏微分方程初值和边值条件的系统理论仍然是不成熟的，到20世纪这方面的工作迅速发展了。