2021-08-11十四讲第四章——李群李代数

本章主要围绕以下几个问题展开:
1、什么是李群和李代数
2、李群和李代数的关系
3、怎么对李代数进行求导
接下来我们分别对这几个主题作阐述。

1、什么是李群和李代数

李群首先是一个群，是由一种集合加上一种运算的代数结构。

1.1群

群可以记为：G= $（A,\cdot）$
满足以下四个条件的即为群
1.封闭性: $\quad{\forall}a_1,a_2\in{A},\quad{a_1.a_2}\in{A}.$
2.结合律: $\quad\forall{a_1,a_2,a_3}\in{A},\quad (a_1.a_2).a_3=a_1(a_2.a_3).$
3.幺元: $\quad{\exists}{a_0}{\in}{A},\quad{s.t.}{\forall}a\in{A},{\quad}a_0.a=a.a_0=a$
4.逆: $\quad{\forall}{a}{\in}{A},\quad{\exists}{a^{-1}}\in{A},{\quad}s.t.{\quad}a.a^{-1}=1$
可以几位“封结幺逆”（封结妖孽）

1.2李群

具有光滑性质的就称为李群

1.3李代数

1.3.1李代数的引出

对于正交群S0(3),即所谓的旋转矩阵，有如下性质:
$RR^T=I\tag{1}$
由于R表示的是某个相机的旋转，所以R是随着时间变动的，因此（1）式可以写为
$R(t)R(t)^T=I\tag{2}$
对矩阵求导：
$\dot{R}(t)R(t)^T+R(t)\dot{R}(t)^T=0\tag{3}$
整理得
$\dot R(t) R(t) ^ T =- ( \dot R (t) R (t) ^ T ) \tag 4$
这是一个反对称矩阵，因此 $\dot{R}(t)R(t)^T$ 可以与一个向量对应：
$\dot{R}(t)R(t)^T=\phi(t)^{\land}\tag{5}$
两边同时右乘 $R(t)$ ,有
$\dot{R}(t)=\phi(t)^{\land}R(t)\tag{6}$
这是一个矩阵微分方程组，令初始条件 $R(0)=I$ ,根据矩阵分析知识：

微分方程解定理

解得

R(t)=exp(\phi_0^{\land}t)\tag{7}

其中，

\phi_0^{\land}

是

t_0=0

时取到的

\phi

，由上面的推导可以看到，一个

R

对应一个

\phi

，

\phi

就是

SO(3)

上的李代数

\mathfrak{so}(3)

1.3.2李代数的定义

每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群的局部性质。通用的李代数定义如下：
李代数由一个集合 $\mathbb V$ ,一个数域 $\mathbb F$ 和一个二元运算 $[,]$ 组成,如果它们满足以下几条性质，则称 $(\mathbb V,\mathbb F,[,])$ 为一个李代数，记作 $\mathfrak g$ 。
1.封闭性 $\qquad{\forall}X,Y \in \mathbb V, [X,Y] \in \mathbb V$ .
2.双线性 $\qquad \forall X,Y,Z \in \mathbb V,a,b \in \mathbb F,有：[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z],[Z,aX+bY]=a[Z,X]+b[Z,Y]$
3.自反性 $\qquad \forall X \in \mathbb V,[X,X]=0$
4.雅可比性 $\forall X,Y,Z \in \mathbb V,[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0$ ,可看作旋转对换。
记忆：饱经风霜，独自优雅

1.3.3李代数 $\mathfrak {so} (3)$

之前提到的 $\phi$ 事实上是一种李代数。SO(3)对应的李代数是定义在 $\mathbb R ^ 3$ 上的向量，我们记作 $\phi$ .根据前面的推导，每个 $\phi$ 都可以生成一个反对称矩阵：
$\Phi = \begin {bmatrix} 0 & -\phi_3 & \phi_2 \\ \phi_3 & 0 & -\phi_1 \\ -\phi_2 & \phi_1 & 0 \end {bmatrix} \in \mathbb R ^ {3x3}.$
在此定义下，两个向量 $[ \phi_1 , \phi_2 ] = (\Phi_1 \Phi_2 - \Phi_2 \Phi_1) ^ \lor$ 。

1.3.4李代数 $\mathfrak {se} (3)$

对于 $SE(3)$ ，它也有对应的李代数 $\mathfrak se(3)$ 。为了节省篇幅，这里就不介绍如何引出 $\mathfrak {se}(3)$ 了。与 $\mathfrak {so} (3)$ 相似， $\mathfrak {se}(3)$ 位于 $\mathbb R^6$ 空间中：
$\mathfrak {se} (3) =\left\{ \xi = \begin {bmatrix} \rho \\ \phi \end {bmatrix} \in \mathbb R ^ 6 , \rho \in \mathbb R ^ 3 , \phi \in \mathfrak {so} (3) , \xi ^ {\land} = \begin {bmatrix} \phi^{\land} & \rho \\ 0^T & 0 \end {bmatrix} \in \mathbb R ^ {4 \times 4} \right \}$
我们把每个 $\mathfrak {se}(3)$ 元素记作 $\xi$ ；它是一个六维向量。前三维为平移，记作 $\rho,$ 后三维为旋转，记作 $\phi$ ,实质上是 $\mathfrak {so}(3)$ 元素。同时我们扩展了 $\land$ 符号的意义，将六维向量转换成四维矩阵，但这里不再表示反对称：
$\xi ^ {\land} = \begin {bmatrix} \phi^{\land} & \rho \\ 0^T & 0 \end {bmatrix}$
我们可以把 $\mathfrak {se} (3)$ 理解成“由一个平移加上一个 $\mathfrak {so} (3)$ 元素构成的向量”。同样，李代数 $\mathfrak{se}(3)$ 也有类似于 $\mathfrak {so} (3)$ 的李括号:
$[\xi _ 1 , \xi _ 2] = (\xi _1 ^ {\land} \xi _2 ^ {\land} - \xi _2 ^ {\land} \xi _1 ^ {\land}) ^ \lor$

2、李群和李代数的关系

上一节中我们了解了什么是李代数，现在要了解李代数和李群的关系。

2.1由李代数到李群：指数映射

由上一节的内容我们可以看到，在给定t的情况下，公式 $R(t)=exp(\phi_0^{\land}t) \tag {2.0}$
描述了如何由 $\phi$ 变换到R，但是如何计算 $exp ( \phi ^ \land)$ 又成了问题。为了计算 $exp ( \phi ^ \land)$ ，我们首先提出三个公式：
对于一个矩阵A：
$exp(A) = \sum _ {n=0} ^ \infty {1 \over n!} A ^ n \tag {2.1}$
任意 $\phi$ 是一个三维向量，我们可以定义它的模长和方向，分别记作 $\theta$ 和 $a$ ,对于 $a ^ \land$
$a ^ \land a ^ \land = aa ^T - I \tag {2.2}$
$a ^ \land a ^ \land a ^ \land = - a ^ \land \tag {2.3}$
有了以上三个方程，我们有：
$R = exp(\phi ^ \land) = exp(\theta a ^ \land )= \sum _ {n=0} ^ \infty {1 \over n!} (\theta a ^ \land) ^ n = cos \theta I + (1 - cos \theta) a a ^ T +sin \theta a ^ \land$ ,这其实就是罗德里格斯公式

2.2由李群到李代数：对数映射以及特征方程

由公式2.0自然可以想到，李群到李代数的转换可以通过对数运算做到。于是有
$\phi = ln (R) ^ \lor = ( \sum _ {n=0} ^ \infty { (-1) ^ n \over {n+1}}) (R - I) ^ {n+1} ) ^ \lor$
但是，我们通常不用泰勒展开去计算对数映射。
由公式2.0，对两边同时取迹（trace），有:
$tr(R) = 1 + 2 cos \theta$
因此
$\theta = arccos ( {{tr(R) - 1} \over 2})$
关于转轴a，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明
$Rn=n$

2.3 $SE(3)$ 上的指数映射与对数映射

设矩阵 $J = \sum _ {n=0} ^ \infty {1 \over {(n+1)!}} (\phi ^ \land ) ^ n$
$\mathfrak {se}(3)$ 上的指数映射如下：
$exp(\xi ^ \land) = \begin{bmatrix} \sum _ {n=0} ^ \infty {1 \over {n!}} (\phi ^ \land ) & \sum _ {n=0} ^ \infty {1 \over {(n+1)!}} (\phi ^ \land ) ^ n \rho \\ 0 ^ T & 1 \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} R & J \rho \\ 0 ^ T & 1\end{bmatrix} = T$
对于矩阵 $J$ ,我们也可以用上一节的内容求得：
$J = {{sin \theta} \over \theta}I + (1 - {sin \theta \over \theta})aa ^T + {1 - cos \theta \over \theta} a ^ \land$
这样我们就结局的了如何从 $\mathfrak se(3)$ 到 $SE(3)$ 的问题，李群 $SE(3)$ 到李代数 $\mathfrak {se}(3)$ 和上节的内容有相似之处，旋转矩阵 $R$ 计算旋转向量， $t$ 满足：
$t = J \rho$

李群李代数的关系

3.对李代数求导

使用李代数的动机是优化，而在优化过程中的导数是非常必要的信息。我们已经了解了李群和李代数的关系，但是，当 $SO(3)$ 中完成矩阵乘法时，李代数中的 $\mathfrak {so} (3)$ 发生了什么变化呢，反过来说，当 $\mathfrak {se} (3)$ 上做两个李代数的加法时， $S0(3)$ 上是否对应着两个矩阵的乘积？很遗憾，李群的矩阵乘法和李代数的加法没有直接对应关系。由BCH公式，可以近似地得到对应关系

3.1李群乘法和李代数加法的对应关系

雅可比矩阵： $J_l= J= \sum _ {n=0} ^ \infty {1 \over {(n+1)!}} (\phi ^ \land ) ^ n = {{sin \theta} \over \theta}I + (1 - {sin \theta \over \theta})aa ^T + {1 - cos \theta \over \theta} a ^ \land$ 并且 $J_r(\phi) = J_l(-\phi)$
乘法
$exp （\Delta \phi ^ \land）exp(\phi ^ \land) = exp((\phi + J _ l ^ {-1} (\phi) \Delta \phi) ^ \land)$ 和 $exp （ \phi ^ \land）exp(\Delta \phi ^ \land) = exp(( \phi + J _ r ^ {-1} ( \phi) \Delta \phi) ^ \land)$ 加法 $exp((\phi + \Delta \phi) ^ \land) = exp((J_l \Delta \phi) ^ \land)exp(\phi ^ \land) = exp( \phi ^ \land)exp((J_r \Delta \phi) ^ \land)$

3.2李代数求导

使用李代数解决求导问题的思路分为两种：
1.用李代数表示姿态，然后根据李代数加法来对李代数求导
2.对李群左乘或者右乘微小扰动，然后对扰动求导，称为左扰动和右扰动模型

3.2.1利用李代数加法来对李代数求导

由于李群 $SO(3)$ 没有加法，所以不能在李群上直接求导，我们转而去求李代数的导数。

李代数求导

不过这里的

J_l

比较复杂，我们不希望计算它。

3.2.2扰动模型（左乘）

另一种求导方式，是对 $R$ 进行一次扰动 $\Delta R$ 。这个扰动可以乘在左边也可以乘在右边，最后结果会有一点微小的差异。

扰动模型

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