一元二次方程和不等式

一、一元二次不等式

1.一元二次不等式的标准形式

$ax^2+bx+c>0（或<0）$
其他非标准形式的不等式可以通过等价变形转化为标准形式

2.解一元二次不等式的步骤

①先化成标准型: $ax^2+bx+c>0（或<0）$ ，且a>0；
②计算对应方程的判别式△;
③求对应方程的根;
④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集

3.函数、方程、不等式的关系

常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
这三者之间有着密切的联系，处理其中某类问题时，要产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析，具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图像进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系。

image.png

解集的符号与不等式同号，说明未知数系数为正，解集的边界值为方程的根

二、一元二次方程

1.概念

只含一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的方程，称为一元二次方程
一般形式： $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ .

配方式： $a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0$

两根式： $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ ( $x_1,x_2$ 为二次方程的根，但不一定是实根)

题目己知一元二次方程，则二次项系数a#0
果题目只说方程 $ax^2+bx+c=0$ ，则要进行分类讨论，按照系数是否为0进行讨论

2.一元二次方程根的情况

令 $\Delta=b^2-4ac$ ，次方程的解将在 $\Delta$ 值的不同分为如下三种情况：
①当 $\Delta>0$ 时，方程有两个不等实数根，根的表达式为： $x_1,x_2=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$
②当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等实数根，根的表达式为： $x_1,x_2=-\frac{b}{2a}$
③当 $\Delta<0$ 时，方程无实数根

由于 $\Delta$ 在判断一元二次方程的解时的重要作用，称 $\Delta=b^2-4ac$ 为一元二次方程的判别式。

3.根与系数的关系（韦达定理）

设一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ ，两根 $x_1，x_2$ 有如下关系：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1·x_2=\frac{c}{a}$

扩展：利用韦达定理可以求出关于两根的对称轮换式（未知数交换位置结果不变）的数值

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1·x_2} = -\frac{b}{c}$

$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$

$|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

$x_1^2-x_2^2 = (x_1+x_2)(x_1-x_2)$

$x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) = (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]$

4.根据实根的正负号情况判断参数符号情况

1.两个正根：ac同号与b异号

$两个正根 = \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0 ⇒ab<0 \\ x_1·x_2=\frac{c}{a}>0 ⇒ac>0 \\ \Delta≥0 \\ \end{cases}$

2.两个负根：abc均同号

$两个负根 = \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}<0 ⇒ab>0 \\ x_1·x_2=\frac{c}{a}>0 ⇒ac>0 \\ \Delta≥0 \\ \end{cases}$

3.一正一负两实根：ac异号

$一正一负两实根 = \begin{cases} x_1·x_2=\frac{c}{a}<0 ⇒ac<0 \\ \Delta>0(恒成立) \\ \end{cases}$

三、一元二次不等式组

1.不等式定义

用不等号连接的两个(或两个以上)解析式称为不等式，使不等式成立的未知数的取值称为不等式的解(不等号包括>、<、≤、≥、≠五种).

2.不等式分类（三大不等式模型）

按照不等式的解的情况可以将不等式分为以下三类
(1)绝对不等式: 解集为R的不等式; （恒成立不等式：对于未知数x，取任意实数，不等式恒成立）
(2)条件不等式: 解集为实数集的非空真子集的不等式（有解不等式）
(3)矛盾不等式: 解集为空集的不等式.（无解不等式，无论未知数x取哪个实数，不等式都不成立）

3.不等式性质

1.传递性

$\left. \begin{matrix} a>b\\ b>c\\ \end{matrix} \right\}⇒a>c$

2.同向相加性

$\left. \begin{matrix} a>b\\ c>d\\ \end{matrix} \right\}⇒a+c>b+d$

3.同向皆正相乘性

$\left. \begin{matrix} a>b>0\\ c>d>0\\ \end{matrix} \right\}⇒ac>bd$

4.同号倒数性

$a>b>0⇔\frac{1}{b}>\frac{1}{a}>0;$
$a<b<0⇔\frac{1}{b}<\frac{1}{a}<0;$

5.皆正乘（开）方性

$a>b>0⇒a^n>b^n>0，\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}>0（n∈Z_+）$

四、均值不等式

1.两大平均值以及计算

1.1 算术平均值

设有n个数 $x_1,x_2,.....,x_n$ ，称 $\overline{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ 为这n个数的算术平均值，简记为：
$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}$

多个数据的和除以数据的个数

1.2 几何平均值

设有n个正整数 $x_1,x_2,.....,x_n$ ，称 $x_g = \sqrt[n]{x_1·x_2·.....·x_n}$ 为这n个正数的几何平均值，简记为：
$x_g =\sqrt[^n]{\displaystyle \prod_{i=1}^{n}{x_i}}$

几何平均值是对于正数而言的。几何平均值开方次数=数据个数

1.3 均值定理

当 $x_1,x_2,.....,x_n$ 为n个正数时，他们的算术平均值不小于几何平均值，即
$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} ≥ \sqrt[n]{x_1·x_2·.....·x_n}（x_i>0,i=1,···,n）$
当且仅当 $x_1=x_2=···=x_n$ 时，等号成立

如： $\frac{2+4+27}{3}=11 > \sqrt[3]{2×4×27} = 6$

平均值定理本质是研究和与积的大小关系.即 $\frac{和}{n}≥\sqrt[n]{积}$

三要素（一正二定三相等）：

数据为正
一定要有和/积的定值
数据相等取等号

1.4 最值应用

当乘积为定值时，和有最小值： $和≥n\sqrt[n]{积}$
1×16=2×8=4×4=16，则1+16>2+8>4+4，当且仅当a=b=4，和取最小值8

当正整数乘积为定值时，数据距离越近，和越小；距离越远，和越大

当和为定值时，乘积有最大值： $积≤(\frac{和}{n})^n$
3+7=4+6=5+5=10，则3×7<4×6<5×5，当且仅当a=b=5，积取最大值25

当正整数和为定值时，数据距离越近，积越大；距离越远，积越小

1.5 特殊情况

$当n=2时⇒ \begin{cases} a+b≥2\sqrt{ab} \\ ab≤(\frac{a+b}{2})^2 \\ \end{cases} (a,b>0)$

$a+\frac{1}{a}≥2（a>0）$ ，即对于正数而言，互为倒数的两个数之和不小于2，且当a=1时取得最小值2

$a+b+c≥3\sqrt[3]{abc}（a,b,c>0）$

五、特殊不等式

1.绝对值不等式

解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把含有绝对值号的不等式等价转为不含绝对值的不等式。常用方法：

①分段讨论法
$|f(x)|= \begin{cases} f(x)&f(x)≥0 \\ -f(x)&f(x)＜0 \\ \end{cases}$

②平方法（不等号两侧均为非负）
$(|f(x)|)^2=[f(x)]^2$

③公式法
$|f(x)|<a(a>0)⇔-a<f(x)<a$
$|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)<-a 或 f(x)>a$

扩展：
$|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x)(g(x)为正)$
$|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(g(x)为正)$

④图像法

2.分式不等式

1.简单分式不等式

$\frac{x-a}{x-b}≥0（a<b）的解集为\{x|x≤a或x>b\}$

$\frac{x-a}{x-b}≤0（a<b）的解集为\{x|a≤x<b\}$

2.其他分式不等式

分式不等式的解法一般通过移项整理成标准型 $\frac{f(x)}{g(x)}>0或\frac{f(x)}{g(x)}<0$ ，再等价化成整式不等式来解

$\frac{f(x)}{g(x)}>0⇔f(x)·g(x)>0$

$\frac{f(x)}{g(x)}<0⇔f(x)·g(x)<0$

$\frac{f(x)}{g(x)}≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0$

$\frac{f(x)}{g(x)}≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0$

最后再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集

3.高次不等式

穿针引线法

“数轴穿线法”用于解一元高次不等式非常方便，其解题步骤如下:
①分解因式，化成若干个因式的乘积.
②作等价变形，便于判断因式的符号，例如: $x^2+1,x^2+x +1,x^2-3x +5$ 等，这些因式的共同点是无论x取何值，式子的代数值均大于零（a为正数）
③由小到大，从左到右标出与不等式对应的方程的根.
④从右上角起，“穿针引线”.
⑤重根的处理，依“奇穿偶不穿” 原则.（偶次幂不穿，奇次幂穿）
⑥画出解集的示意区域，如图，从左到右写出解集
遇零点变号，阴影部分为 $f(x)>0$ 的解集

image.png

穿线法是先在数轴上标注出每个因式的零点，然后从右上方穿一条线，遇到零点就穿过一次，图像在数轴上方代表大于零，在数轴下方代表小于零.需要注意的是，对于偶数次方的因式，该零点不穿透，另外在使用穿线法的时候，x 的系数都要转化为正数来分析

4.无理不等式（根式不等式）

对于无理不等式，一般是通过平方转化为有理不等式进行求解。在求解时，注意根号要有意义。

5.指数对数不等式

结合单调性进行分析。或者换元转为一般的不等式。

6.柯西不等式（求解平方和及一次表达式）

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2，当ad=bc时，两边相等$

推导过程:
$\begin{align*} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2 \\ &=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-(a^2c^2-2abcd+b^2d^2) \\ &=a^2d^2-2abcd+b^2c^2\\ &=(ad-bc)^2≥0\\ 故(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2 \end{align*}$

六、特殊方程

1.绝对值方程

常用处理绝对值的方法:
(1)分段讨论法
根据绝对值的正负情况来分类讨论，其缺点是运算量较大，只有当绝对值比较简单时，才分段讨论求解.
(2)平方法
采用平方来去掉绝对值，利用公式 $|x|^2=x^2$ 来分析求解，平方法的缺点是次方升高，一般结合平方差公式来转移此缺点.
(3)图像法
图像法比较直观，通过常见绝对值图像来分析.

2.分式方程

解分式方程的步骤是:
方程两边都乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出根以后，要验证原分式的分母是否有意义.

增根的产生:
分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，就会出现不适合原方程的根，即增根;因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.

3.无理方程（根式方程）

解无理方程:

一般通过方程两边同时乘方，使之转化为有理方程，从而求出方程的解，
求完以后要验证根号是否有意义.
出现多个根式，一定要将根式分开在等号左右两侧再进行平方

注意解无理方程时，由于方程两边同时乘方，未知数的取值范围可能会扩大，有产生增根的可能.因此，最后必须进行验根.

4.指数、对数方程

一般遇到指数或对数方程，都要先经过换元，转化成常见的一元二次方程进行讨论分析在换元的过程中，一定要注意换元前后变量的取值范围的变化.
转为同底数。

注意在解对数方程的时候，还要验证定义域.

最后编辑于：2024.10.04 19:04:49

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