因子分解机(Factorization Machine, FM)是由Steffen Rendle提出的一种基于矩阵分解的机器学习算法。目前，被广泛的应用于广告预估模型中，相比LR而言，效果强了不少。
一、FM背景
FM(Factorization Machine)主要目标是：解决数据稀疏的情况下，特征怎样组合的问题。以一个广告分类的问题为例，根据用户画像、广告位以及一些其他的特征，来预测用户是否会点击广告（二分类问题）。数据如下：
Clicked?是分类值，表明用户是否点击了此广告。1表示点击，0表示未点击。而Country,Day,Ad_type则是Categorical特征（类别特征），一般都是进行one-hot编码处理。
将上面的离散特征数据进行one-hot编码以后（假设Country,Day,Ad_type类别只有图中几种），如下图所示
二、FM优点
① FMs allow parameter estimation under very sparse data where SVMs fails.（FM模型可以在非常稀疏的数据中进行合理的参数估计，而SVM做不到这点）
② FMs have linear complexity,can be optimized in the primal and do not rely on support vectors like SVMs.
（在FM模型的复杂度是线性的，优化效果很好，而且不需要像SVM一样依赖于支持向量。）
③ FMs are a general predictor that can work with any real valued feature vector. In contrast to this, other state-of-the-art factorization models work only on very restricted input data.
（FM是一个通用模型，它可以用于任何特征为实值的情况。而其他的因式分解模型只能用于一些输入数据比较固定的情况。）
三、FM模型
在一般的线性模型中，是各个特征独立考虑的，没有考虑到特征与特征之间的相互关系。但实际上，大量的特征之间是有关联的。最简单的以电商为例，一般女性用户看化妆品服装之类的广告比较多，而男性更青睐各种球类装备。那很明显，女性这个特征与化妆品类服装类商品有很大的关联性，男性这个特征与球类装备的关联性更为密切。如果我们能将这些有关联的特征找出来，显然是很有意义的。
一般的线性模型为（nn为特征维度）：
对于度为2的因子分解机（FM）的模型为：
其中，v∈Rn,k，<vi,vj>表示的是两个大小为k的向量之间的点积：
与线性模型相比，FM的模型就多了后面特征组合的部分。
四、FM求解
在基本线性回归模型的基础上引入交叉项，如下：
组合部分的特征相关参数共有n(n−1)2n(n−1)2个。但是在数据很稀疏的情况下，满足xixi,xjxj都不为0的情况非常少，这样将导致ωijωij无法通过训练得出，无法对相应的参数进行估计。
这里，采用的方法是：对每一个特征分量xixi引入辅助向量vi=(vi1,vi2,...,vik)vi=(vi1,vi2,...,vik)。然后，利用vivTjvivjT对交叉项的系数ωijωij进行估计
令
则
这就对应了一种矩阵的分解。对k值的限定，对FM的表达能力有一定的影响，下图为论文中说明的k值选取原则。
下面，求<vi,vj>，这块的求解用到了
求出交叉项。过程如下：
