第三讲

第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

数学符号

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $\sqrt{x}$

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知识点

曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 自然坐标系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 匀速圆周运动的加速度，向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n$
- 直线运动的加速度，切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 一般曲线运动的加速度
- 物体曲线运动时，时间很短的时候，运动的弧长接近于弦长，即 $ds=|d\vec{r}|$
  - 平均速率是标量。平均速度是矢量。
  - 曲率半径的直观感受
  - 计算曲率半径

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$ $=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为

解答：（2）（3）（6）
切向 $\vec{e}_{t}$ 加速度改变速度的大小
法向 $\vec{e}_{n}$ 加速度改变速度的方向，都是矢量

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：2
特列：匀速圆周运动，
既然是曲线运动，即它的切线方向也在改变，与切线垂直则是法向加速度，加速度为矢量，方向变了，所以加速度也变了

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为？

解答：分析：当物体到最高点，此时竖直方向上的速度为0
分解初速度： $v_x=v_0cos \theta$
此时重力加速度充当向心力则有
$g=\frac{(v_x)^2}{r}$
$r=\frac{(v_0cos \theta)^2}{g}其中r为运动半径$

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )

解答： $\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\vec i+t\vec j$
$|\vec v |=\sqrt{1+t^2}$
由定义 $a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .
$|a|=|\frac{dv}{dt}|=1$
$a=\sqrt{a^2_n+a^2_t}$
所以 $a_n=\frac{1}{\sqrt{2}}$

作业

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答：
平均速度为 $\frac{\Delta \vec r}{t}=\frac{\vec{r}_\text{t2}-\vec{r}_\text{t1}}{\Delta t}=\frac{15\vec i-24\vec j}{4}$

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答：
$\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=-R\omega sin t \vec i+R\omega cos \vec j$
$|\vec v|=\sqrt{(-R\omega sin t )^2+(R\omega cos t)^2}$

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答：设 $\vec i$ 为X轴单位正向量， $\vec j$ 为Y轴单位正向量
所以有
$\vec r=x\vec i+y\vec j$
$\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=(-10+60t)\vec j+(15-40t)\vec j$
$|\vec v|=\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}$

最后编辑于：2019.03.07 08:52:17

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