一阶偏微分方程
在拉格朗日以前还没有系统研究过一阶偏微分方程，因为物理问题直接引出二阶偏微分方程，反而二阶先受到注意。人们只求解了几个特殊的一阶偏微分方程，除了全微分方程其他都比较好解。全微分方程即Pdx+Qdy+Rdz=0，P,Q,R是x,y,z的函数，这类方程如果能积分的话，就把z定义成x,y的函数。
1739年克莱罗发现如果左端是恰当微分，即如果存在函数u，使du=Pdx+Qdy+Rdz，那么有δP/δy=δQ/δx，δP/δz=δR/δz，δQ/δz=δR/δy（跟向量场Pi+Qj+Rk是保守向量场的判定方法是一样的），如果不是恰当微分，可以乘以积分因子得到恰当微分。克莱罗和达朗贝尔都给出了积分的充要条件，即
一般的两个自变量的一阶偏微分方程形如：f(x,y,z,p,q)=0,这里p=δz/δx，q=δz/δy，如果方程关于p,q是线性的称为线性偏微分方程，否则称为非线性的。以下粗体字为拉格朗日贡献的术语。拉格朗日把一阶非线性方程的解分类，任一包含两个任意常数的解V(x,y,z,a,b)=0是完全解或完全积分，令b=Φ(a)（Φ是任意的），我们得到一个单参数解族。当Φ(a)任意时，称该族的包络为通积分，当一个确定的Φ(a)被使用时，这个包络是通积分的一个特殊情况。完全积分中所有解的包络称为奇解（奇积分）。完全积分不是唯一的，它们不能通过改变任意常数相互转换，但通过特殊情况和奇解，可以从任一完全积分得到另一完全积分给出的所有解。
1774年拉格朗日讨论了一阶偏微分方程的完全解、通解和奇解之间的关系，从f(x,y,z,a,Φ(a))=0及δV/δa=0中消去a得到通积分，从f(x,y,z,a,b)=0，δV/δa=0和δV/δb=0中消去a,b得到奇解。
拉格朗日首次给出了非线性一阶方程的一般理论。1772年他考察了自变量x,y和应变量z的一般一阶方程，改进并推广了欧拉早期的工作。他令方程为q-Q(x,y,z,p)=0，q是x,y,z,p的函数，再试图确定p作为x,y,z的函数，两个方程q-Q(x,y,z,p)=0和p-P(x,y,z)=0有单重无穷多个公共积分曲面（几何意义），拉格朗日从分析上讨论，表达式dz-pdx-qdy乘以适当因子M(x,y,z)变成N(x,y,z)=0的恰当微分dN,为此必须有δN/δz=M,δN/δx=-Mp,δN/δy=-Mq。在一系列代入后他要寻找一阶方程的解p=P，这个函数关于p的导数是线性的，其解包含任意常数a。求出后他再积分q-Q(x,y,z,p)=0和p-P(x,y,z,a)=0,求得了q-Q(x,y,z,p)=0一族∞^2个积分曲面，即求得了完全解。这是用解线性方程代替解非线性方程。
1779年拉格朗日给出了解线性一阶偏微分方程的方法，他考虑非齐次线性方程Pp+Qq=R（该式被称为拉格朗日方程）。这个方程与齐次偏微分方程密切相关，而齐次偏微分方程又与常微分方程组dx/P=dy/Q=dz/R相连，拉格朗日容易证明了：如u(x,y,z)=c是线性方程的一个解，那么f=u(x,y,z)是偏微分方程的一个解。如果f=u(x,y,z)和f=v(x,y,z)是偏微分方程的两个独立解，那么u=c1和v=c2是方程组的一个解；此外也可证明，当Φ是u,v的任意函数，f=Φ(u,v)也满足偏微分方程，Φ(u,v)=0是线性方程的通解。可以看出拉格朗日已经成功把一个关于x,y,z的任意一阶方程转化为联立常微分方程，但是他没有点明，而且后来解一阶偏微分方程时还忘记了这个方法。
1798年Lacroix说Paul Charpit(1784)把非线性和线性方程的方法相结合，将把任一f(x,y,z,p,q)=0转化为一个常微分方程组，但没有出版。雅可比希望出版这篇文章，但未能如愿，因此我们不知说法是否属实。现代教科书融合了拉格朗日1772年和1779年两篇论文的思想，把方法称为拉格朗日-沙比法（怎么听起来像骂拉格朗日)。这个方法是说解f(x,y,z,p,q)=0，必须解常微分方程组（f=0的特征方程组）
求出方程组的积分就可以得到解，再把解得的方程和f=0联立，解出p,q并代入dz=pdx+qdy，再积分求解。
拉格朗日的方法也称为柯西的特征方法，是因为这一方法适用于两个自变量的方程，1819年柯西把这一方法推广到n个变量。
