4.函数与方程

一.零点,二分法

题型一:函数的零点概念

下 $y=f( 4x) -x$ 列对零点说法正确的有几个___________.
①函数 $y=f( x)$ 的零点就是方程 $f( x) =0$ 的根
②函数 $y=f( x)$ 的零点就是 $y=f( x)$ 的图象与 $x$ 轴的交点
③函数 $y=f( x)$ 的零点是实数
④函数 $y=f( x)$ 的零点是平面上的一个点
$f( x) =\frac{x-1}{x}$ ,则函数零点为___________.

题型二:零点所在区间

下列说法正确的是___________.
A.若 $f( a) \cdot f( b) < 0$ ,则 $f( x)$ 在区间 $( a,b)$ 上至少有一个零点
B.若 $f( x)$ 在 $[ a,b]$ 连续且 $f( a) \cdot f( b) >0$ ,则 $f( x)$ 在区间 $( a,b)$ 上没有零点
C.若 $f( x)$ 在 $[ a,b]$ 连续且 $f( a) \cdot f( b) < 0$ ,则 $f( x)$ 在区间 $( a,b)$ 上有且只有一个零点
D.若 $f( x)$ 在 $[ a,b]$ 连续且 $f( a) \cdot f( b) < 0$ ,则 $f( x)$ 在区间 $( a,b)$ 上至少有一个零点
函数 $f( x)$ 的图象是连续不断的,有如下对应关系:
写出零点所在区间（区间长度为 $1$ ）___________.
$f( x) =x^{3} -3x-3$ 有零点的区间是___________.
A. $\left( -\text{1,} 0\right)$
B. $\left(\text{0,} 1\right)$
C. $\left(\text{1,} 2\right)$
D. $\left(\text{2,} 3\right)$

题型三:零点个数

$f( x) =\lg x+2x-4$ 零点有___________.
$f( x) =x^{2} -2^{x}$ 零点有___________.

题型四:证明零点唯一性

找出连续函数 $f( x) =\lg x+x-10$ 零点所在区间 $( n,n+1) ,n\in N^{*}$ ,并证明只有一个零点.

题型五:二分法

用二分法求 $f( x) =0$ 的近似解（精确到0.1）,利用计算器得 $f( 2) < 0$ , $f( 3) >0$ , $f( 2.5) < 0$ , $f( 2.75) >0$ , $f( 2.625) >0$ , $f( 2.5625) >0$ ,则近似解所在区间是___________.
A. $\left(\text{2.5,} 2.75\right)$
B. $\left(\text{2.5625,} 2.625\right)$
C. $\left(\text{2.625,} 2.75\right)$
D. $\left(\text{2.5,} 2.5625\right)$
用二分法求 $x^{3} -2x-5=0$ 在区间 $\left[\text{2,} 3\right]$ 上的实根,取区间中点 $x_{1} =2.5$ ,则下一个有解区间为___________.
用二分法求 $f( x) =0$ 的近似解, $f( 1) =-2$ , $f( 1.5) =0.625$ , $f( 1.25) =-0.984$ , $f( 1.375) =-0.260$ ,下一个求 $f( m)$ ,则 $m=$ ___________.

课后练习

函数 $f( x) =x^{3} -2x^{2} -x+2$ 的零点为___________.
若函数 $f( x)$ 的图像是连续不断的,且 $f( 0) >\text{0,} f( 1) >\text{0,} f( 2) < 0$ ,则加上下列哪个条件可确定 $f( x)$ 有唯一零点___________.
A. $f( 3) < 0$
B. $f( -1) >0$
C.函数在定义域内增函数
D.函数在定义域内为减函数
对于函数 $f( x) =x^{2} +mx+n$ ,若 $f( a) >\text{0,} f( b) >0$ ,则函数 $f( x)$ 在区间 $( a,b)$ 内___________.
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
函数 $y=\log_{a}( x+1) +x^{2} -2( 0< a< 1)$ 的零点的个数为___________.
若函数 $y=f( x)$ 在区间 $\left[\text{0,} 4\right]$ 上的图像是连续的曲线,且方程 $f( x) =0$ 在 $\left(\text{0,} 4\right)$ 内有且仅有一个实数根,则 $f( 0) \cdot f( 4)$ 的值___________.
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.无法判断
函数 $f( x) =x^{\frac{1}{2}} -\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的零点个数为___________.
在下列区间中,函数 $f( x) =e^{x} +4x-3$ 的零点所在的区间为___________.
A. $\left( -\frac{1}{4} ,0\right)$ B. $\left(\text{0,}\frac{1}{4}\right)$
C. $\left(\frac{1}{4} ,\frac{1}{2}\right)$
D. $\left(\frac{1}{2} ,\frac{3}{4}\right)$
设函数 $f_{1}( x) =\log_{2} x-\left(\frac{1}{2}\right)^{x} ,f_{2}( x) =\log_{\frac{1}{2}} x-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的零点分别为 $x_{1} ,x_{2}$ 则___________.
A. $0< x_{1} x_{2} < 1$
B. $x_{1} x_{2} =1$
C. $1< x_{1} x_{2} < 2$
D. $x_{1} x_{2}$ $>2$
函数 $f( x) =2^{x} |\log_{0.5} x|-1$ 的零点个数为___________.
某方程有一无理根在区间 $\left(\text{0,} 2\right)$ 内,用二分法求此根,要求求得的近似解精确度不大于 $\frac{1}{2^{n}}$ ,则至少要将区间 $\left(\text{0,} 2\right)$ 等分________次.

二.二次方程根的分布

例题

已知方程 $x^{2} +( m-3) x+m=0$ 根的情况如下,分别求实数 $m$ 的取值范围．

方程有一根
有两正根（两负根）
有一正根一负根
两根都小于 $1$ ;（两根都大于 $1$ ）
一个根大于 $1$ ,一个根小于 $1$
有一根在区间 $\left(\text{0,} 1\right)$ 内,另一根在区间 $\left(\text{1,} 3\right)$ 内
有两异根有且仅有一个在 $\left(\text{0,} 1\right)$ 内
两根都在区间 $\left(\text{0,} 2\right)$ 内
一个正根,一个负根且正根绝对值较大
一个根小于 $2$ ,一个根大于 $4$

课后练习

方程 $x^{2} +( m-2) x+5-m=0$ 的两个根都比2大,则 $m$ 的取值范围为___________.
当 $m\in$ ___________时,方程 $7x^{2} -( m+13) x=m^{2} -m-2=0$ 的一根大于1,一根小于1.
若方程 $4^{x} +( m-3) \cdot 2^{x} +m=0$ 有两个不相同的实根,则 $m$ 的取值范围为___________.
若关于 $x$ 的方程 $\lg\left( x^{2} +20x\right) -\lg( 8x-6a-3) =0$ 有唯一的实根,则实数 $a$ 的取值范围是___________.
方程 $x^{2} －\text{2|} x|＝a( a\in R)$ 有且仅有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是___________.
已知函数 $f( x) =ax^{2} -3-ax+\text{1,} g( x) =x,$ 若对于任一实数 $x$ , $f( x)$ 与 $g( x)$ 至少有一个为正数,则实数 $a$ 的取值范围是___________.
已知关于 $x$ 的二次方程 $x^{2} +2mx+2m+1=0$ ．
（1）若方程有两根,其中一根在区间 $\left( -\text{1,} 0\right)$ 内,另一根在区间 $\left(\text{1,} 2\right)$ 内,求 $m$ 的范围;
（2）若方程两根均在区间 $\left(\text{0,} 1\right)$ 内,求 $m$ 的范围;
（3）有一实根在0和1之间,求 $m$ 的取值范围.
（4）较大实根在0和1之间,求实数 $m$ 的取值范围.
（5）两根为 $\alpha \beta$ 且满足 $0< \alpha < 1< \beta$ ,求 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f( x) =x^{2} -( 2a-1) x+a^{2} -2$ 与 $x$ 轴非负半轴至少有一个交点,求 $a$ 的取值范围．（与 $x$ 轴至多有一个交点呢？）
对于函数 $f( x)$ ,若存在 $x_{0} \in R$ ,使 $f( x_{0}) =x_{0}$ 成立,则称 $x_{0}$ 为 $f( x)$ 的不动点.已知函数 $f( x) =ax^{2} +( b+1) x+( b-1) a\neq 0.$
（1）当 $a=\text{1,} b=-2$ 时,求函数 $f( x)$ 的不动点;
（2）对任意实数 $b$ ,函数 $f( x)$ 恒有两个相异的不动点,求 $a$ 的取值范围.
已知二次函数 $f( x) =x^{2} -( m-1) x+2m$ 在区间[0,1]上有且只有一个零点,求实数 $m$ 取值范围.

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一.零点,二分法

题型一:函数的零点概念

题型二:零点所在区间

题型三:零点个数

题型四:证明零点唯一性

题型五:二分法

课后练习

二.二次方程根的分布

例题

课后练习

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