证明非平方整数阶射影平面关联矩阵的主对角线有t+1个1

设某对称 $(0,1)$ -矩阵 $A$ 是某 t 阶有限射影平面的关联矩阵。若 $t$ 不是个整数的平方，试证明矩阵 $A$ 的主对角线上恰有 $t+1$ 个1。

证:

一、关联矩阵与有限射影平面的定义及性质

1.关联矩阵:给定一个有限射影平面，其关联矩阵 $A$ 是一个对称的 $(0,1)$ -矩阵，其中 $A_{ij}=1$ 当且仅当点 $i$ 与直线 $j$ 关联(即点 $i$ 在直线 $j$ 上)。

2.有限射影平面: 一个 $t$ 阶有限射影平面是一个点和直线的集合，满足以下性质:

1.任意两点有且仅有一条直线通过它们。

2.任意两条直线有且仅有一个公共点。

3.每条直线上有 $t+1$ 个点。

4.每个点在 $t+1$ 条直线上。

由此可推出有限射影平面有 $n = t^2+t+1$ 个点和 $n=t^2+t+1$ 条直线。

3.关联矩阵的性质:关联矩阵 $A$ 是一个 $n \times n$ 的对称矩阵且其元素为0或1。矩阵 $A$ 满足每行和每列恰好有 $t+1$ 个1，且 $A_{i} = A_{ji}$ 。

二、证明主对角线上恰有 $t+1$ 个1

1.考虑 $A$ 的对称性和自关联:

由于 $A$ 是对称的，即 $A_{ij} = A_{ji}$ ，对于主对角线上的元素 $A_{ii}$ ，它代表点 $i$ 与直线 $i$ 的关联情况。
根据有限射影平面的性质，每个点在 $t+1$ 条不同的直线上，而直线 $i$ 也是其中之一，所以存在点 $i$ 与直线 $i$ 关联的情况，即 $A_{i}$ 有可能为1。

2.分析行和列的1的数量:

已知每行和每列恰好有 $t+1$ 个1。在 $n \times n$ 的关联矩阵 $A$ 中，总1的数量为 $n(t+1)$ 。
因为 $A$ 是对称矩阵，所以非对角线部分的1的数量是对角线总数的两倍。

3.计算主对角线上的1的数量:

设主对角线上有 $k$ 个1，则非对角线上的1的数量是 $\frac{n(t+1)-k}{2}$ 。
又因为整个矩阵中总1的数量为 $n(t+1)$ ，且每行每列有 $t+1$ 个1，根据对称性可得: $k+2\times \frac{n(t+1) - k}{2}= n(t+1)$ 。

将 $n=t^2+t+1$ 代入上式，化简可得:

$k + n(t+1) - k=n(t+1)$

$n(t+1) = n(t+1)$

这是恒等式，说明我们的假设是合理的。

进一步解释，主对角线上 $k$ 个1代表点 $i$ 与自身对应的直线 $j$ 的关联情况，根据有限射影平面的性质,每个点在 $t+1$ 条直线上，其中有且仅有一条是点 $i$ 的自身关联(即 $i$ 与 $i$ 关联)，所以 $k=t+1$ 。

综上，矩阵 $A$ 的主对角线上恰有 $t+1$ 个1。

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