Theoretically Principled Trade-off between Robustness and Accuracy

Zhang H, Yu Y, Jiao J, et al. Theoretically Principled Trade-off between Robustness and Accuracy[J]. arXiv: Learning, 2019.

@article{zhang2019theoretically,
title={Theoretically Principled Trade-off between Robustness and Accuracy},
author={Zhang, Hongyang and Yu, Yaodong and Jiao, Jiantao and Xing, Eric P and Ghaoui, Laurent El and Jordan, Michael I},
journal={arXiv: Learning},
year={2019}}

概

从二分类问题入手, 拆分 $\mathcal{R}_{rob}$ 为 $\mathcal{R}_{nat},\mathcal{R}_{bdy}$ , 通过 $\mathcal{R}_{rob}-\mathcal{R}_{nat}^*$ 的上界建立损失函数，并将这种思想推广到一般的多分类问题.

主要内容

符号说明

$X, Y$ : 随机变量;
$x\in \mathcal{X}, y$ : 样本, 对应的标签( $1, -1$ );
$f$ : 分类器(如神经网络);
$\mathbb{B}(x, \epsilon)$ : $\{x'\in \mathcal{X}:\|x'-x\| \le \epsilon\}$ ;
$\mathbb{B}(DB(f),\epsilon)$ : $\{x \in \mathcal{X}: \exist x'\in \mathbb{B}(x,\epsilon), \mathrm{s.t.} \: f(x)f(x')\le0\}$ ;
$\psi^*(u)$ : $\sup_u\{u^Tv-\psi(u)\}$ , 共轭函数;
$\phi$ : surrogate loss.

Error

$\tag{e.1} \mathcal{R}_{rob}(f):= \mathbb{E}_{(X,Y)\sim \mathcal{D}}\mathbf{1}\{\exist X' \in \mathbb{B}(X, \epsilon), \mathrm{s.t.} \: f(X')Y \le 0\},$
其中 $\mathbf{1}(\cdot)$ 表示指示函数, 显然 $\mathcal{R}_{rob}(f)$ 是关于分类器 $f$ 存在adversarial samples 的样本的点的测度.

$\tag{e.2} \mathcal{R}_{nat}(f) :=\mathbb{E}_{(X,Y)\sim \mathcal{D}}\mathbf{1}\{f(X)Y \le 0\},$
显然 $\mathcal{R}_{nat}(f)$ 是 $f$ 正确分类真实样本的概率, 并且 $\mathcal{R}_{rob} \ge \mathcal{R}_{nat}$ .

$\tag{e.3} \mathcal{R}_{bdy}(f) :=\mathbb{E}_{(X,Y)\sim \mathcal{D}}\mathbf{1}\{X \in \mathbb{B}(DB(f), \epsilon), \:f(X)Y > 0\},$
显然
$\tag{1} \mathcal{R}_{rob}-\mathcal{R}_{nat}=\mathcal{R}_{bdy}.$

因为想要最优化 $0-1$ loss是很困难的, 我们往往用替代的loss $\phi$ , 定义:
$\mathcal{R}_{\phi}(f):= \mathbb{E}_{(X, Y) \sim \mathcal{D}} \phi(f(X)Y), \\ \mathcal{R}^*_{\phi}(f):= \min_f \mathcal{R}_{\phi}(f).$

Classification-calibrated surrogate loss

这部分很重要, 但是篇幅很少, 我看懂, 等回看了引用的论文再讨论.

在这里插入图片描述

引理2.1

在这里插入图片描述

定理3.1

在假设1的条件下 $\phi(0)\ge1$ , 任意的可测函数 $f:\mathcal{X} \rightarrow \mathbb{R}$ , 任意的于 $\mathcal{X}\times \{\pm 1\}$ 上的概率分布, 任意的 $\lambda > 0$ , 有
$\begin{array}{ll} & \mathcal{R}_{rob}(f) - \mathcal{R}_{nat}^* \\ \le & \psi^{-1}(\mathcal{R}_{\phi}(f)-\mathcal{R}_{\phi}^*) + \mathbf{Pr}[X \in \mathbb{B}(DB(f), \epsilon), f(X)Y >0] \\ \le & \psi^{-1}(\mathcal{R}_{\phi}(f)-\mathcal{R}_{\phi}^*) + \mathbb{E} \quad \max _{X' \in \mathbb{B}(X, \epsilon)} \phi(f(X')f(X)/\lambda). \\ \end{array}$
最后一个不等式, 我知道是因为 $\phi(f(X')f(X)/\lambda) \ge1.$

定理3.2

在这里插入图片描述

结合定理 $3.1, 3.2$ 可知, 这个界是紧的.

由此导出的TRADES算法

二分类问题, 最优化上界, 即:

在这里插入图片描述

扩展到多分类问题, 只需:

在这里插入图片描述

算法如下:

在这里插入图片描述

实验概述

5.1: 衡量该算法下, 理论上界的大小差距;
5.2: MNIST, CIFAR10 上衡量 $\lambda$ 的作用, $\lambda$ 越大 $\mathcal{R}_{nat}$ 越小, $\mathcal{R}_{rob}$ 越大, CIFAR10上反映比较明显;
5.3: 在不同adversarial attacks 下不同算法的比较;
5.4: NIPS 2018 Adversarial Vision Challenge.

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定理3.1

定理3.2

由此导出的TRADES算法

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