在我们学习这一章的时候，主要关注的就是平行线的特点。那么，平行线都有哪些性质呢？我们又有哪些方法来判定平行线呢？

在我们学平行线的性质和判定之前，我们就已经证明出了一些公理。而这些公理在我们证明平行线的性质和判定的过程中也需要用到:1.对顶角相等。2.平行于同一条直线的两条直线平行。3.当一条直线垂直于另外一条直线时，他们所构成的角是90度。4.同角的补角相等。这些都是我们通过其他验证方法证明出来的公理。

首先，我们先来认识一下一组平行线被另外一条直线所截可以构成的角，正是因为这些角所以我们才可以知道平行线的性质和怎样判定是否为平行线。

首先第一个角就是同位角。同位角是两条直线被第三条直线所截，在两条线旁边位置相同的两个角，如图:

图中的角一和角二就是同位角。当然，关于同位角这件事情，会有一些特殊的位置关系 ，比如通过探索我们可知，只要同位角相等，那么直线a平行于直线b。而这个探索并不需要证明，凭着我们的常识就可以知道，这是不证自明的定理。而这也就意味着，只要我们知道同位角相等，那么就可以判定a平行于b。由此，我们把同位角相等，两直线平行。定义为平行线判定定理一。

还有第二种特殊的角，就是内错角。内错角是两条直线被第三条直线所截，在不同方向不同位置，但在两线之间的两个角。通常内错角的三线可以构成一个z字形。如下图:

那么有没有一种更为特殊的内错角呢？其实是有的。当两个内错角相等的时候，那么构成它的其中两条直线就比较特殊，这两条直线会互相平行。而我们怎么知道这两条直线互相平行呢？那么就需要证明当两个内错角相等的时候，两条直线平行。图形如下:

我们已知一组内错角:∠5等于∠4，该怎样证明a平行于b呢？运用已知的平行线判定定理1，同位角相等，两直线平行。 求证过程如下:因为∠5=∠4

所以∠5=∠8（通过对顶角相等验证出来的）

所以∠8=∠4（通过等量代换得出的）

所以a平行于b

这就是我们验证内错角相等两直线平行的过程。而当我们把它验证出来之后，就可以运用它来判定是否为平行线了。给它取个名字。把它称为平行线判定定理二。

还有一种特殊的位置关系的角，可以验证两条线是否平行。那就是我们所说的同旁内角。同旁内角指的是当两条直线被第三条直线所截时，构成的在同一边，不同位置的两个角称为同旁内角。如下图:

而此图中的同旁内角是由两条平行线被第三条直线所截而形成的，他们也有特殊的关系。当这两个同旁内角加起来等于180度的时候，那么这两条直线就互相平行 。那么我们应该怎么证明呢？图如下:

我们已知一组同旁内角∠4+∠6=180°。求证这两条直线平行。我们可以运用已经证明出的定理同位角相等，两直线平行。以及内错角相等，两直线平行。这也就意味着，有两种方法可以证明出同旁内角互补，两直线平行。一是可以运用平行线判定定理一。第二种方法可以运用平行线判定定理二。在这里，我只写一种:（运用平行线判定定理一）

因为∠4+∠6=180°，∠2+∠4=180°

所以∠2=∠6（同角的补角相等）

所以a∥b（同位角相等，两直线平行）

由此我们可以把同旁内角互补，两直线平行。 称为平行线判定定理三。

以上是平行线的判定定理。也就是通过这些特殊位置的角我们可以判定这两条线为平行线。那么当我们已知这两条线为平行线，又可以得出什么结论呢？

第一个就是和同位角有关的结论。两直线平行，同位角相等，我们把它命名为平行线性质定理一。而这个定理则不需要证明。不用证明就可以知道。

第二个就是和内错角有关的结论。当内错角相等时，两条直线互相平行。而我们也可以通过推理证明来得出此结论。不过跟以往的推理不同的是，我们现在知道的是两条直线平行，证明内错角相等。而在平行线判定定理中，我们知道的是两个内错角相等，判定两直线平不平行。如下图:

这就是证明过程以及图，那么我们可以把它命名，把它命名为平行线性质定理二。

还有第三种你这两条直线平行所构成的特殊角，那就是两直线平行，同旁内角互补。其实，应该有两种方法可以把它证明出来，第一种是用我们证明出来的平行线性质定理一，而第二种就是用我们刚才证明出来的平行线性质定理二。在这里我们用第二种方法 。如下图:

这就是我们所学习的平行线的性质以及平行线的判定，这是在平行线中比较特殊的地方。