平行的定义是什么？平行的定义就是在同一平面内，两条没有共点的直线。如果判断两条直线平行？两条直线被一条直线所截，而当这两条直线为平行线时，这条成为交叉线的直线，会使这三条直线之间产生角度，一共会产生八个角度，这个八个角度之间的关系，可以证明原本的两条线是平行线，于是我们可以通过寻找角度关系来判断两条直线是否是平行线。
在这个已经确定是平行线的两条直线上截一条线，而这里所产生了八个角，而这八个角之间，通过观察测量计算，可以发现角一与角二的角度是相同的，通过推理证明，可以发现是因为直线a与直线c固定，直线b平移角度不变，通过测量可以发现，两者角度相同，这两个角所在的位置关系可以定义为同位角。
而角四与角二的角经过猜测后发现两者的角度应该相同，而通过推理法定义同位角关系为公理时，求证角四与角2度数相等时，两条直线平行。因为角四等于角二（如图已知）所以角二等于角一（同位角相等）因为角一等于角四（对顶角相等）所以直线AB平行。通过此方法，可以证明出当以上那种角四与角二所在的位置关系，的时候如果角四与角二相等，则AB平行。于是我们可以又得到一个定将此定理名称定为内错角相等时直线AB平行。
但是如果两条直线平行时之间角的位置规律关系还不止这些，根据猜测角三与角二相加，应该等于180度，于是可以进行证明角三角二之和为180度时两条直线平行。
因为180度减去角二等于角五，（如图已知）所以角五等于角三（内错角相等）因为角五等于角三，所以角二加角三=180度通过此推理过程，可以在两条直线BC被直线a所截时角位置关系位于角三与角二角二角2=180度则BC平行。这种位置关系可以叫做同旁内角。也是定理的一种。
这三种方法都可以断定，两条直线是否为平行线，但是他们都有个共同的条件，那就是两条直线已经被第三条直线所截，而这里判断平行线的原理在于平行线被第三条直线所截之间产生的角度进行比较与互补，而如果单纯的两条平行线，在没有第三条直线截两条平行线时，是无法用此方法判断两条线是否为平行线的。
可是，知道两条线为平行线，还有什么可以进行实际应用的呢？这里可以实际应用的可就大了，通过平行线的性质，我们就可以用它来进行判定一些其他信息，所以平行线也算是一个工具。
首先猜测一下平行线有什么性质，其实通过判定定理就可以清晰的看出平行线的性质，平行线应该有以下的性质，第一若同位角相等两条直线平行，第二，若若内错角相等两条直线平行，第三如果同旁边旁内角互补，两条直线平行
有了猜测就要判定，首先我们要先画三条直线，已知互相平行的直线为AB，第三条相交线为c，产生的同位角为角一，角二，产生的内错角为角三，角一，产生了同旁内角为角一，角四。
首先要求证的是两条直线平行时被第三条直线所截，内错角相等。之所以不先正明同位角相等，两条直线平行，是因为这是公理。我们的自尊名也需要通过这条公理的证明。证明：因为A平行于b（已知）所以角一等于角二（同位角相等）角一等于角三（等量代换）所以两条直线平行（同位角相等两条直线平行）所以结论是若两条直线平行时内错角一定相等。随后要证明的要是两条直线平行时，同旁内角互补。证明：因为A平行于b，（已知）所以角一等于角二（两条直线平行同旁内角相等）因为180度减去角二等于角四，所以角一加角4=180度，（等量代换）所以结论是两条直线平行时同旁内角一定相等。而最终结论也是月亮要直线平行时内错角一定相等，同旁内角一定互补，同位角一定相等。
