格林公式（Green’s theorem）是矢量微积分中的一个重要定理，它建立了曲线积分和二重积分之间的关系。格林公式有两种形式：平面形式和空间形式。
平面格林公式： 设 D 是平面上一个封闭区域，边界曲线 C 为简单、逆时针方向的闭合曲线，且 C 给出了 D 的正向法向量。若 P(x, y) 和 Q(x, y) 是平面上具有连续偏导数的函数，则平面格林公式表示：
∮C (P dx + Q dy) = ∬D (Qₓ – Pᵧ) dA
其中，
∮C 表示沿曲线 C 的环路积分。
∬D 表示在区域 D 上的二重积分。
(P dx + Q dy) 表示矢量场的微分形式。
Qₓ 表示 Q 对 x 的偏导数。
Pᵧ 表示 P 对 y 的偏导数。
dA 表示在平面上的面积元素。
简言之，平面格林公式表明了一个平面区域的边界曲线上的环路积分等于该区域内部函数的二重积分的微分。
空间格林公式： 空间格林公式是格林公式在三维空间中的推广，它将曲面积分与体积积分联系起来。设 V 是空间中的一个封闭区域，曲面 S 是 V 的边界，且 S 给出了 V 的正向法向量。若 F(x, y, z) = (P, Q, R) 是具有连续偏导数的矢量场，则空间格林公式表示：
∮S (P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy) = ∬∬∬V (div F) dV
其中，
∮S 表示沿曲面 S 的曲面积分。
∬∬∬V 表示在空间区域 V 上的三重积分。
(P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy) 表示矢量场的微分形式。
div F 表示 F 的散度。
dV 表示在空间中的体积元素。
空间格林公式表明了一个空间区域的边界曲面上的曲面积分等于该区域内部矢量场的散度的体积积分的微分。
格林公式在物理学、工程学和数学等领域中具有广泛应用，它建立了积分与微分之间的联系。
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