说起平行线，大家应该很熟悉吧。自从小学时候我们就明白了平行线大致的意思。正方形、长方形的对边线都是平行线。而我们也是通过正方形与长方形认识的平行线。但是，如果没有图形的帮助，我们应该如何来判断两条线的关系是否为平行线？对了，说到两条线的关系，你认为一共有几种关系呢？这也是需要分类讨论：如果是在同一平面内，两条直线的关系，不是平行就是相交。有人说：会不会既不会相交也不会垂直呢？是不会的，因为直线会无限延伸，在一个平面之内如果两条线不是沿着同一个方向，那么最后，他们肯定会相交。但是以上情况会在当两条线不再同一个平面内，在一个三维空间时，就会出现，既不会平行，也不会相交。你能想象到吗？

      （回归主题）因为上了初中，已经不同于小学的规矩化，需要严谨的逻辑推理与证明，这也就是为什么我们需要重新验证平行线的原因。那么该如何判断两条线的平行（或者说一条线平行于另一条线）？在这之前，我们得明白平行线的定义是什么。平行线其实就是在一个平面内不会相交的两条直线的对应关系。

    那么，难道按照直线的性质，向两边无限延伸，然后再看相交就可以判定？No，No，No！我们需要更为严谨的逻辑推理证明，过程中，要按照以前我们已有的经验，从而得出结论。

      （我们的结论就是要证明平行线）

      猜想1:

      首先我利用圆规在直线a任意地划了两段弧线（并标记了圆心）又在直线与弧线的交界点，也就是点A与点B，以线段AB为半径，分别在两个地方划弧，就在这条线之外得到点C，以这个点与最初的圆心，过这2点做一条直线c，就是与a的垂线。既然是垂线，那么角1就是90度。同样的道理，如果为垂线，夹角必为90度，我用量角器将角2量得93度，至少证明直线b不垂直于直线c。在按照在小学时得出的正方形结论（因为正方形有两组平行线），四个内角不仅相等，且都为90度。90度说明了什么？4个边都是垂线呀！so，平行线有间接垂直的关系，一条直线先垂直于一条，这条在垂直于另外一条，然后这条与最初的直线平行。下图就是此：

      这次我用同样的步骤完成了验证，发现直线c不仅垂直于直线a，也垂直与直线b。并且这次的角1与角2度数相等，都是90度！所以这次就可以判定直线a平行于直线b。

      猜想2:

      其实，可以不用这个方法，我们也可以得出a平行于b。这次也是利用角度，但是就不是垂直线与直角的问题了。轮廓上与上述一样，但验证方法不同。用到的是三线八角模型，一条直线同截于两条直线。

      那么此模型该怎样验证角度相同呢？在图中所体现的4个角就是线索。其实在猜想1中用的也是此模型，但是这次有所不同。上次是八个角都相等，那么就可以证明为平行线，这次就会有所不同，八个角不会全部相等。那么该如何证明呢？在图中所标出的角，角1与角2的关系与3、4都是相同的，都属于内错角。顾名思义，就是内部的错位角。假设如果一对内错角相等的话，会发生什么？假设会致使两线平行。量完两角度数之后，相等（角4、3同为58度）。用猜想一中的间接垂直验证法来判定：

      平行！

      那么如果我不用猜想一，可不可以证明？想象一下当直线c沿顺or逆时针方向旋转时，角3、4的相等关系会变吗？

      经过测量，角3、4同为158度。我发现，不管直线c怎样旋转，变的是角3、4的大小，但是唯独不变的就是关系——相等！so，按此即可证明平行线！

      那么，如果说用外面的4个角进行猜想，也可以证明平行线吗？如果单说四个外角的话，也会有与内错角一样的外错角。角5与角7就是一个很好的例子，6、8也同样，道理与内错角相等。那么如果将外角与内角放在一起说会怎么样？这是两条直线，也是同样的直线，将直线a垂直平移一段距离之后也会得到b，并且他们都与c产生了角。看一看角5与角2的关系，再看一看6 4、1 7、3 8，他们是不是属于相同的位置？并且如果两条线平行，一对角的度数也会相等，这一对角就称为同位角。还有，在直线c的左右两侧，分别有两组关系角，叫做“同旁内角”（也有同旁外角）。与错角不同的是，这两在同一侧。他们的规律不是相等，而是互补等于180度！你明白吗？

      如果按照七上的因为所以与欧几里得的证明法来证明，就是以下：

      已知：allb

      求证：角5=角2

      验证：因为allb

              所以角1=角2（内错角相等）

              因为角4➕角2=180度，角1➕角3=180度，角3➕角5=180度。

              所以180-角4=180-角3=角5=角2。

      已知：allb

      求证：角1➕角4=角2➕角3=180（互补）

      验证：因为allb

              所以角1=角2，角3=角4（内错角相等）

              因为角4➕角2=180度，角1➕角3=180度。

              所以角2➕角4=角2➕角3=180度，角1➕角3=角4=180度。

            我们由一个个条件得出了最终的结论。当你知道如何判定一个平行线时，你已经掌握了每一个要点，搞清楚了每一个方法，同时也明白了平行线的性质。就像学分数，分数的基本性质会帮助你计算，同样的道理，平行线也是这样的。

      外一章：

      在开学之后，我们跟随着赵俊杰老师的步伐，又重新学习了平行线的判定与性质。发现这三种可以判定平行线的方法（或者说定理），都是用不同的方式得出来的。今天我们就再来温故而知新，重新认识一下这三种定理：

      定理一：同位角相等

      仔细想想，这个好像并没有明确的、可以得出这个结论的推理过程。因为这就是一个非常直观的现象，他没有经过你的大脑处理思考，就是本来的面目。所以，我们不得不把它认作是一种在自然界，本来就存在着公里，是不可怀疑的。要想认识，可以在两条平行线之间把第三条都相交与与他们的相交的线不断地去旋转他，通过多次的实验，发现不论如何，同位角都相等。

      语言描述：当一条直线相交于两条直线时，如果同位角相等，则后者—两条直线互相平行。

      定理二：内错角相等

      这个可就不是本来所存在的“公理”了，因为这个定理是可以通过逻辑思维而推理出来的，当然，在已知条件中，就包含了同位角相等，因为此定理就是在同位角相等的基础上所推理。可以根据我画的图而看以下：

      已知：角1等于角2

      求证：a平行于b

      证明：因为.角1=角2，对顶角相等（已知条件）

              所以.角1=角5（对顶角相等）

              所以.角2=角5（等量代换）

              所以.allb（同位角相等，两直线平行）

    语言描述：当一条直线相交于两条直线时，如果内错角相等，则allb。

      定理三：同旁内角互补

      这个同样于定理二，有通过逻辑的推理去推出来。互补的意思就是两个角相加等于180度，正好是一个平角的角度。但是他有两种方法可以验证，第一个就是借助定理一：

      已知：角2与角3互补

      求证：allb

      证明：因为.角2➕角3=180，角5➕角3=180度（已知条件与平角定义）

              所以.角5➕角3=角2➕角3=180度（等量代换）

            所以.角5=角2（同角补角相等）

            所以.allb（同位角相等，两直线平行）

      同时也可以借助定理二：

      已知：角2与角3互补

      求证：allb

      证明：因为.角2➕角3=180度，角1➕角3=180度（已知条件与平角定义）

              所以.角1➕角3=角2➕角3=180度（等量代换）

              所以.角1=角2

              所以.allb（内错角相等，两直线平行）

      你明白了吗？

      在我们得出平行线判定定理之后，我们就可以来借助定理来归纳平行线的性质了。之前我们是通过定理来判定平行线，这次我们是通过定理再来探究平行线本身所具有的性质。其实性质就是一个个定理，只不过是反过来了。其实说白了就是通过“两直线平行”而得出下一条其本身的性质。废话不多说，来吧！

      性质一：

      由于同位角相等这一理念是无法通过逻辑，推理他是一个自然所具有的现象，所以我们便可以通过判定直接得出“两直线平行，同位角相等”。

      性质二：

      已知：allb

      求证：角2=角1（内错角相等）

    证明：因为.allb（已知条件）

              所以.角2=角5，角5=角1（等量代换）

              所以.角2=角1（两直线平行，内错角相等）

      性质三：

      已知：allb

      求证：角2➕角3=180度（同旁内角互补）

      证明：因为.allb，角3➕角5=180度（已知条件）

              所以.角2=角5（不知）

              所以.角2➕角3=180度（两直线平行，同旁内角互补）

      性质四：

      已知：allb，bllc

      求证：allc（内错角相等）

      证明：因为.allb，bllc（已知条件）

              所以.allc（平行于同一条直线的两条直线平行）