统计思维导图与常用公式

数据的概括性度量

  • 集中趋势的度量
    众数（mode）：一组数据中出现次数最多的变量（EXCEL函数：MODE(number1,number2,……）。
    中位数（median）：一组数据排序后处于中间位置上的变量，中位数位置=(n+1)/2（EXCEL函数：MEDIAN(number1,number2，……）。
    四分位数（quartile）：一组数据排序后处于25%和75%位置上的值，QL位置=\frac{n}{4}
    ,QU位置=\frac{3n}{4}（EXCEL函数：QUARTILE(array,quart))。
    平均数（mean）：一组数据相加后处于数据个数得到的结果。
      简单平均数（simple mean）：\overline{x}=\frac{\sum_{i=0}^n x_i}{n}
      加权平均数（weighted mean）：\overline{x}=\frac{\sum_{i=0}^n M_i f_i}{n} （M_if_i:权重与频数的乘积）
      几何平均数（geometric mean）：G=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} (GEOMEAN(number1,number2,……））

  • 离散趋势的度量
    异众比率（variation ration）：值非众数组的频数占总频数的比例。V_r=1-\frac{f_m}{\sum f_i}(\sum f_i为变量值的总频数,f_m为众数组的频数）
    四分位差（quartile deviation）：也称内距或四分位距,它是上四分位分数与下四分位分数之差。Q_d=Q_U-Q_L
    方差（variance）：各变量值预期平均数离差平方的平均数。s^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})}{n-1}
    标准差（standard deviation）：方差的平方根。
    离散系数（coefficient of variation）：一组数据的标准差与其相应的平均数之比。v_s=\frac{s}{\overline{x}}

  • 偏态与峰态的度量
    偏态（skewness）：它是对数据分布对称性的测度。
    偏态系数（coefficient of skewness）：SK=\frac{n\sum(x_i-\overline{x})^3}{(n-1)(n-2)^3},s_3是样本标准差的三次方。（EXCEL函数：SKEW(number1，number2，……），样本数少于3个或者标准差为0，则返回错误值#DIV/0!）
      偏态的强度：1.偏态系数=0，数据的分布是对称的；
            2.偏态系数>1或者<-1,高度偏态分布；
            3.偏态系数位于[0.5,1]或者[-1,-0.5],中等偏态分布。
      偏态的方向判断：1.SK为正值时，正离差值较大，正偏或者右偏；
              2.SK为负值时，负离差值较大，负偏或者左偏。

峰态（kurtosis）：它是对数据分布平峰或尖峰程度的测度。
峰态系数（coefficient of kurtosis）：K=\frac{\sum_{i=1}^k(M_i-\overline{x})^4f_i}{ns^4}-3,s^4是样本标准差的四次方。（EXCEL函数：KUPT(number1，number2，……），样本数少于4个或者标准差为0，则返回错误值#DIV/0!）
   峰态的测度：1.K=0,正态分布；
         2.K>0,尖峰分布，数据的分布更集中；
         3.K<0,扁平分布，数据的分布更分散。

统计量及其抽样分布

  • 中心极限定理（central limit theorem）
    设从均值为μ、方差为σ^2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本,当n充分大时，样本均值\overline{x}的抽样分布近似服从均值为μ、方差为\frac{σ^2}{n}的正态分布。

参数估计

一个总体参数的区间估计

  • 总体均值的区间估计：

            不同情况下总体均值的区间估计

总体分布 样本量 σ已知 σ未知
正态分布 大样本（n\geq30） \overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ}{\sqrt{n}} \overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{s}{\sqrt{n}}
正态分布 小样本（n\leq30） \overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ}{\sqrt{n}} \overline{x}\pm z_\frac{t}{2} \frac{s}{\sqrt{n}}
非正态分布 大样本（n\geq30） \overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ}{\sqrt{n}} \overline{x}\pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{s}{\sqrt{n}}

  • 总体比例的区间估计
    比例的区间估计只讨论在大样本的情况下，由样本比例p的抽样分布可知，当样本量足够大时，比例p的抽样分布可用正态分布近似。
    总体比例的置信区间为：p\pm z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{ n }}

  • 总体方差的区间估计
    方差的区间估计只讨论正态总体方差的问题。根据样本方差的抽样分布可知，样本方差服从自由度为n-1的\chi^2分布。因此，用\chi^2分布构造总体方差的置信区间。
    总体方差σ²在1-\alpha置信水平下的置信区间为：
    \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_\frac{\alpha}{2}}\leq σ^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi_\left( 1-\frac{\alpha}{2} \right)}

两个总体参数的区间估计

  • 两个总体均值之差的区间估计
参数 点估计量（值） 标准误差 （1-\alpha)%的置信区间 假定条件
u_1-u_2
两个总体
均值之差		 \overline{x}_1-\overline{x}_2 \sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}} \left( \overline{x}_1 -\overline{x}_2 \right) \pm z_\frac{\alpha}{ 2} \sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}} （1）独立大样本
(n_1≥30,n_2≥30)
（2）σ_1,σ_2已知
u_1-u_2
两个总体
均值之差		 \overline{x}_1-\overline{x}_2 \sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}} \left( \overline{x}_1 -\overline{x}_2 \right) \pm z_\frac{\alpha}{ 2} \sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}} （1）独立大样本
(n_1≥30,n_2≥30)
（2）σ_1,σ_2未知
u_1-u_2
两个总体
均值之差		 \overline{x}_1-\overline{x}_2 \sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}} \left( \overline{x}_1 -\overline{x}_2 \right) \pm t_\frac{\alpha}{ 2}(n_1+n_2- 2) \sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_1}+\frac{ 1}{n_2})} （1）两个正态总体
（2）独立小样本
(n_1＜30,n_2＜30)
（3）σ_1,σ_2未知但相等
u_1-u_2
两个总体
均值之差		 \overline{x}_1-\overline{x}_2 \sqrt{\frac{σ^2_1}{n_1}+\frac{σ^2_2}{n_2}} \left( \overline{x}_1 -\overline{x}_2 \right) \pm t_\frac{\alpha}{ 2} (v)\sqrt{\frac{ s ^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}} （1）两个正态总体
（2）独立小样本
(n_1＜30,n_2＜30)
（3）σ_1,σ_2未知且不相等
u_d=u_1-u_2
两个总体
均值之差		 \overline{d} \frac{σ_d}{\sqrt{n}} \overline{d} \pm z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ_d}{\sqrt{n}} 匹配大样本
(n_1≥30,n_2≥30)
u_d=u_1-u_2
两个总体
均值之差		 \overline{d} \frac{σ_d}{\sqrt{n}} \overline{d} \pm t_\frac{\alpha}{2} (n-1)\frac{s_d}{\sqrt{n}} （1）两个正态总体
（2）匹配小样本
(n_1＜30,n_2＜30)
  • 两个总体比例之差的区间估计
参数 点估计量（值） 标准误差 （1-\alpha)%的置信区间 假定条件
\pi_1-\pi_2
两个总体
比例之差		 p_1-p_2 \sqrt{\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_1}+\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_ 2}} (p_1-p_2) \pm z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{\pi_1(1-\pi_1)}{n_1}+\frac{\pi_2(1-\pi_2)}{n_ 2}} （1）两个二项总体
（2）匹配小样本
(n_1p_1≥5,n_1(1-p_1)≥5
n_2p_2≥5,n_2(1-p_2)≥5)
  • 两个总体方差比的区间估计
参数 点估计量（值） 标准误差 （1-\alpha)%的置信区间 假定条件
σ_1^2-σ_2^2
两个总体
方差比		 s_1^2/s_2^2 （不要求） \frac{s_1^2/s_2^2}{F_\frac{\alpha}{2}}\leq\frac{σ_1^2}{σ_2^2}\leq\frac{s_1^2/s_2^2}{F_\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)} 两个正态总体

样本量的确定

  • 估计总体均值时样本量的确定
    由于估计误差E=z_\frac{\alpha}{2} \frac{σ}{\sqrt{ n}},因此可以推断出确认样本量的公式如下：
    n=\frac{(z_\frac{\alpha}{2})^2σ^2}{E^2}

  • 估计总体比例时样本量的确定
    由估计误差E=z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{ n}}可以推导出重复抽样或无限总体抽样条件下确认样本量的公式如下：
    n=\frac{(z_\frac{\alpha}{2})^2\pi(1-\pi)}{E^2}

假设检验

  • 两类错误
项目 没有拒绝H_0 拒绝H_0
H_0为真 1-\alpha（正确决策） \alpha(弃真错误)
H_0为伪 \beta（取伪错误） 1-\beta（正确决策）

  • 假设的检验流程
    1.提出原假设H_0与备择假设H_1;
    2.计算统计分布量；
    3.将统计分布量与显著性水平比较（如z值）：若\mid z\mid<\mid z_\frac{\alpha}{2}\mid,不拒绝H_0;
                         若\mid z\mid>\mid z_\frac{\alpha}{2}\mid,拒绝H_0。

  • 利用P值进行决策
    P值反映了观察到的实际数据与原假设之间不一致的概率，可以有效避免以上两类错误。
    在事先确认好显著性水平后，如\alpha=0.05,则在双侧检验中，P>0.025（\frac{\alpha}{2}=0.05）不能拒绝原假设；反之，P<0.025则拒绝原假设；在单侧检验中，P>0.05不能拒绝原假设；P<0.05则拒绝原假设。

  • 单侧检验
    左单侧检验称为下限检验，右单侧检验称为上限检验。

一个总体参数的检验
在一个总体参数的检验中，用到的检验统计量主要有三个：z统计量，t统计量，\chi^2统计量。z统计量和t统计量主要用于均值和比例的检验，\chi^2统计量则用于方差的检验。

检验参数 条件要素 检验统计量
总体均值u_0检验 大样本 z=\frac{\overline{x}-u_0}{σ/\sqrt{n}}
总体均值u_0检验 小样本
（σ已知）		 z=\frac{\overline{x}-u_0}{σ/\sqrt{n}}
总体均值u_0检验 小样本
（σ未知）		 t=\frac{\overline{x}-u_0}{s/\sqrt{n}}
总体比例\pi_0检验 大样本 z=\frac{p-\pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0\left(1- \pi_0 \right)}{n}}}
总体方差σ^2检验 大样本 \chi^2=\frac{(n-1)^2s^2}{σ^2}

两个总体参数的检验

检验参数 条件要素 检验统计量
均值之差
u_1-u_2检验		 样本量大
σ²已知或未知		 z=\frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-(u_1-u_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{ n_2}}}
均值之差
u_1-u_2检验		 样本量小
σ²未知,且\sigma_1^2=\sigma_2^2 		t=\frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-(u_1-u_2)}{s _p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{ n_2}}}
均值之差
u_1-u_2检验		 样本量小
σ²未知,且\sigma_1^2≠\sigma_2^2 		t=\frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-(u_1-u_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{ n_2}}}
比例之差
\pi_1-\pi_2检验		 服从二项分布 z=\frac{p_1-p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{ n_2}+\frac{1}{ n_2})}}
方差比
\frac{σ^2_1}{σ^2_2}检验		 两个正态总体 F=\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}

方差分析

单因素方差分析
总平方和（sum of squares for total）：SST=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline{\overline{x}})^2
组间平方和（sum of squares for factor A）:SSA=\sum_{i=1}^kn_i(x_{i}-\overline{\overline{x}})^2
组内平方和（sum of squares for error）：SSE=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij}-\overline{x})^2
SST=SSA+SSE
EXCEL方差分析表：

误差来源 平方和SS 自由度df 均方MS F值 P值 F临界值
组间（因素影响） SSA k-1 MSA MSA/MSE
组内（误差） SSE n-k MSE
总和 SST n-1

表格分析：1.若F值>F临界值，则拒绝原假设H_0，表明有显著差异；
     2.若F值<F临界值，则不拒绝原假设H_0，表明没有显著差异；
     3.若P<\alpha,则拒绝H_0,若P>\alpha,则不拒绝H_0。

  • 关系强度的度量
    反映自变量和因变量的关系程度的大小记为R^2:
    R^2=\frac{SSA}{SST}

  • 方差分析中的多重比较
    方差分析中的比较值记为LSD：
    LSD=t_\frac{\alpha}{2}\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})}
    如果\mid\overline{x}_i-\overline{x}_j\mid>LSD,则拒绝H_0，如果\mid\overline{x}_i-\overline{x}_j\mid<LSD,则不拒绝H_0。

双因素方差分析

  • 无交互作用的双因素方差分析
    第一项行因素产生的误差平方和，记为SSR:SSR=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{r}(x_{i·}-\overline{\overline{x}})^2
    第二项列因素产生的误差平方和，记为SSC:SSC=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{r}(x_{·j}-\overline{\overline{x}})^2
    SST=SSR+SSC+SSE
    EXCEL方差分析表：
误差来源 平方和SS 自由度df 均方MS F值 P值 F临界值
行因素 SSR k-1 MSR F_R
列因素 SSC n-k MSC F_C
误差 SSE （k-1）*（r-1） MSE
总和 SST kr-1

表格分析：
1.F_R>F_\alpha，拒绝原假设H_0,表明行之间有显著差异，反之则不拒绝原假设H_0，表明行之间没有明显差异；
2.F_C>F_\alpha，拒绝原假设H_0,表明列之间有显著差异，反之则不拒绝原假设H_0，表明列之间没有明显差异；
3.如果P-value<\alpha，拒绝原假设H_0，P-value>\alpha，不拒绝原假设H_0。

关系强度的测度：
R^2=\frac{SSR+SSC}{SST}

  • 有交互作用的双因素方差分析
    SST=SSR+SSC+SSRC+SSE
    EXCEL方差分析表：
误差来源 平方和SS 自由度df 均方MS F值 P值 F临界值
行因素 SSR k-1 MSR F_R
列因素 SSC n-k MSC F_C
交互作用 SSRC （k-1）*（r-1） MSRC F_{RC}
误差 SSE kr(m-1) MSE
总和 SST kr-1

表格分析：
1.行因素的P-value<\alpha,则拒绝原假设，表明行之间有显著差异，反之，不拒绝原假设，表明行之间没有显著差异；
2.列因素的P-value<\alpha,则拒绝原假设，表明列之间有显著差异，反之，不拒绝原假设，表明列之间没有显著差异；
3.交互作用的P-value<\alpha，则拒绝原假设，表明相互作用有显著影响，反之，不拒绝原假设，表明相互作用没有显著影响。

一元线性回归

相关系数（correlation coefficient）：根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量(CORREL(Array1,Array2))。
r=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{n\sum {x}^2-\left( \sum x \right) ^2} \times \sqrt{n \sum y^2 - \left( \sum y\right) ^2}}

EXCEL一元线性回归表：

回归统计
Multiple R r
R Square R^2
Adjusted R Square R_a^2
标准误差 s_e
观测值 n

方差分析

SS df MS F值 P值 Significance F
回归 SSA k-1 MSA MSA/MSE
残差 SSE n-k MSE
总计 SST n-1
Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lowe 95% Upper 95%
Intercept \beta_0
X Variable 1 \beta_1

表分析：
1.回归方程：E(y)=\beta_0+\beta_1x;
2.r=1时，x与y之间为完全正线性相关关系，r=-1时，x与y之间为完全负线性相关关系；r区间为(0,1)时，x与y之间为正线性相关关系，r区间为(-1,0)时，x与y之间为负线性相关关系。
3.R^2的值表明x与y之间的拟合强度，R^2的值越接近1，表明x与y相关性越强，拟合性越好。
4.标准误差s_e可以用来度量各实际观测点在直线周围散布状况的一个统计量，说明判断结果的误差范围。
5.线性关系检验：若F>F_\alpha,拒绝H_0,表明两个变量之间的线性关系是显著的；若F<F_\alpha,不拒绝H_0，没有证据表明两个变量之间的线性关系显著（除此之外，还需要判断P值与\alpha之间的大小以确定是否拒绝H_0,EXCEL表中的显著性F（Significance F）就是用于检验的P值）。
6.回归系数的检验：t(t Stat)>t_\frac{\alpha}{2}，拒绝原假设，表明该变量是显著性影响要素（判断P值方法与前面相同）。
7.点估计：代入自变量到回归方程获得相应的因变量。
8.置信区间估计：y_0\pm t_\frac{\alpha}{2}s_e\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\overline{x})^2}{\sum_{i=1} ^n(x_i -\overline{x})^2}}
9.预测区间估计：y_0\pm t_\frac{\alpha}{2}s_e\sqrt{1+ \frac{1}{n}+\frac{(x_0-\overline{x})^2}{\sum_{i=1} ^n(x_i -\overline{x})^2}}，预测区间要比置信区间更宽一些。

多元线性回归

EXCEL多元线性回归表：

回归统计
Multiple R r
R Square R^2
Adjusted R Square R_a^2
标准误差 s_e
观测值 n

方差分析

SS df MS F值 P值 Significance F
回归 SSA k-1 MSA MSA/MSE
残差 SSE n-k MSE
总计 SST n-1
Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lowe 95% Upper 95%
Intercept \beta_0
X Variable 1 \beta_1
X Variable 2 \beta_2
X Variable 3 \beta_3
…… ……

表分析：
1.回归方程：E(y)=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\beta_3x_3+……;
2.r=1时，x与y之间为完全正线性相关关系，r=-1时，x与y之间为完全负线性相关关系；r区间为(0,1)时，x与y之间为正线性相关关系，r区间为(-1,0)时，x与y之间为负线性相关关系。
3.R^2_a为调整多重判定系数，表明x与y之间的拟合强度，R^2_a的值越接近1，表明x与y相关性越强，拟合性越好。
4.标准误差s_e可以用来度量各实际观测点在直线周围散布状况的一个统计量，说明判断结果的误差范围。
5.线性关系检验：若F>F_\alpha,拒绝H_0,表明两个变量之间的线性关系是显著的；若F<F_\alpha,不拒绝H_0，没有证据表明两个变量之间的线性关系显著（除此之外，还需要判断P值与\alpha之间的大小以确定是否拒绝H_0,EXCEL表中的显著性F（Significance F）就是用于检验的P值）。
6.回归系数的检验：t(t Stat)>t_\frac{\alpha}{2}，拒绝原假设，表明该变量是显著性影响要素（判断P值方法与前面相同）。

指数

简单综合指数：I_p=\frac{\sum p_1}{\sum p_0},I_q=\frac{\sum q_1}{\sum q_0},p代表质量指标，q代表数量指标；I_p代表质量指标指数，I_q代表数量指标指数。
加权综合指数：I_p=\frac{\sum qp_1}{\sum qp_0},I_q=\frac{\sum q_1p}{\sum q_0p} ，其中p，q代表的是权数。
（1）拉氏指数：I_p=\frac{\sum q_0p_1}{\sum q_0p_0},I_q=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0}, I_p代表质量指标指数，I_q代表数量指标指数，p_0和p_1分别表示基期和报告期的质量指标值；q_0和q_1分别表示基期和报告期的数量指标值
（2）帕氏指数：I_p=\frac{\sum q_1p_1}{\sum q_1p_0},I_q=\frac{\sum q_1p_1}{\sum q_0p_1}

  • 总体指数分析
    实际分析中比较常用的是基期权数加权的数量指数（拉氏指数）和报告期权数加权的质量指数（帕氏指数）形成的指数体系，该指数体系可表示为：
    \frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_0p_0}=\frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0p_0}\times\frac{\sum q_1 p_1}{\sum q_1p_0}
    因素影响的差额之间的关系为：
    \sum q_1p_1-\sum q_0p_0=(\sum q_1p_0-\sum q_0p_0)+(\sum q_1p_1-\sum q_1p_0)
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