中国剩余定理
设R是一个环,
是R的理想,对于
,若
,则称x与y模I同余,记作)
当和
都是环R的理想时,它们的乘积
也是R的理想,且
推广到有限多个理想：设
是环R的理想,定义集合
为所有的有限和
其中
,
,
,
易证
是环R的理想,且
理想互素
设
是含幺交换环,
为环R的理想,若
,则称与互素
由定义,若与互素,则
,使得
引理：设R为含幺交换环,和是环R的理想,且与互素,则
,
,使%2Cr%5Cequiv%20r_2(mod%5C%3B%20J))
同时成立
证明：
%3D(r_2-r_1)a%5Cin%20I)
%2Br_1b%3D(r_1-r_2)b%5Cin%20J)
例：设
,且
与
互素,则理想%3DmZ)
与%3DnZ)
互素
由扩展欧几里得算法,
,使
,取
,则
,且
,
为方程组%5C%5Cr%5Cequiv%20r_2(mod%5C%3B%20n)%5Cend%7Bcases%7D)
的解
定理：设R是含幺交换环,是环R的理想,且两两互素,则
,
,使得%2C1%5Cle%20j%5Cle%20n)
,若y也满足这个性质,即
,有)
,则)
证明：
(a_3%2Bb_3)%5Ccdots(a_n%2Bb_n))
%2Cs_1%5Cequiv%200(mod%5C%3B%20%5Cprod%5Climits_%7Bj%3D2%7D%5En%20I_j))
)
)
)
%2Br_j(s_j-1)%5Cequiv%200(mod%5C%3B%20I_j))
)
%2C1%5Cle%20j%5Cle%20n)
)
)
